назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [ 2 ] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]


2

которое существует на рынке. Допустим, вы монополист и знаете о своем товаре только то, сколько вы потратили на его производство, и больше ничего. И пусть перед вами - большое количество страждущих, желающих купить у вас ваш товар. Вы принимаете решение: «Устанавливаю цену 100 и буду продавать!» -и через час вся партия распродана... вы кусаете локти и рвете волосы: «Какой же я... Надо было цену ставить 500, раз такой спрос!..»

Через неделю вы выбрасываете на рынок новую партию товара по цене 500 и... ждете целый месяц, пока ваша партия хотя бы на 70% будет распродана и вам удастся окупить расходы на производство, хотя, на путевку на Канары денег, увы, и не остается. Вы опять в раздумьях: «Как же мне, бедолаге и одиночному торговцу, найти ту цену, при которой я буду продавать быстро, но не дешево?». Тем же самым вопросом задается и Валютный Рынок. Он - одиночный торговец, олицетворяющий собой толпу продавцов валюты.

Давайте теперь посмотрим, как выглядит процесс поиска «правильной» цены одиночным торговцем, если этот процесс изобразить в виде графика. Как обычно, рассматриваем такую ситуацию, когда внешние условия не меняются.

Ранее мы говорили, что при определенных условиях кривую спроса, формирующуюся между двумя ценами (минимальной и максимальной), можно представить в виде прямой линии. Теперь мы и воспользуемся этой возможностью. Будем считать, что минимально возможная цена - это такая цена, при которой наша выручка равна себестоимости товара, то есть прибыли нет никакой. Максимальной ценой будем считать такую, когда товар почти

перестает продаваться, то есть прибыль тоже резко уменьшается. Цены эти сравнительно недалеки друг от друга, поэтому без большой погрешности соединяем точки спроса прямой линией.

Итак, каждая точка - цена, по которой торговец мог бы продавать товар. Ей будет соответствовать вполне конкретный объем реализации, то есть количество товара, которое можно продать. Если теперь мы перемножим в каждой точке (то есть, при каждой цене) спрос (объем реализации) и цену, а затем нанесем результаты на график, то построим кривую дохода, который получит наш одинокий торговец от продажи товара по широкому спектру цен. И что же мы увидим? А увидим мы, что вновь полученная кривая будет иметь форму красивой параболы с единственным пиком вверху! И это значит, что, если продавец будет реализовывать свой товар по цене, соответствующей этому пику, он получит максимальный доход, равный величине пика! Иллюстрация - на рисунке 1.3.1.

Казалось бы, проблема решена - точка найдена, ведь есть парабола! Но опять встает проблема: чтобы увидеть пик параболы, нужно построить параболу, а для этого нужно знать объемы реализации при каждой цене и ту самую равновесную цену, соответствующую максимальному доходу. Замкнутый круг, господа... И он бы оставался замкнутым, если бы не соотношения Фибоначчи.



Рис. 1.3.1. Кривые спроса и кривая доходности

1.4. Быстрый поиск лучшей цены - Фибо-поиск.

Приступаем, господа, к обоснованию права на жизнь нашей веры, которую мы предлагаем пррш5пъ и вам.

Наша вера состоит в том, что применимость Фибо-соотношений для поиска лучшей цены на товарном рынке - это не следствие разумности космоса, и даже не результат того, что мужчины находятся под влиянием планет и женщин, у которых высота пупка находится на уровне 0.618 от их роста. Существование Фибо-пропорций - это следствие того, что товарный рынок - сверх-рациональная среда, стремящаяся получить самым коротким путем максимальную прибыль.

Теорема Воробьева Н.Н. о поиске максимального значения функции кратчайшим путем

В 50-х годах господин Воробьев Н.Н., известный советский математик и профессор МГУ, поставил и решил задачу о том, каким образом для некоторой функции F кратчайшим путем (то есть, с минимальным количеством измерений) и допуская при этом максимальную ошибку найти такой ее параметр X, чтобы значение F, соответствующее этому X, с заданной точностью Q было ее максимальным значением. Иными словами, нужно с минимальным количеством измерений и с точностью Q найти максимальное F, допуская при этом максимальную ошибку.

Задачу поиска осложняет то обстоятельство, что мы практически ничего не знаем о реальных значениях функции в тех точках, где измерения еще не были произведены. Да уж, тяжелые условия работы. Неопределенность полная. Ну да ладно, разберемся...



Таким образом, в нашем распорзжении последовательно могут появляться только те значения F и в тех точках X, где мы реально произвели измерения.

Вышеописанное ограничение - «найти искомую точку путем минимального количества измерений при условии того, что каждый раз необходимо совершать максимальную ошибку» - называется условием «минимакса». А полный алгоритм или, по-другому говоря, план работы, который должен быть найден, называется «оптимальным планом поиска».

Да, кстати, единственное, что по условию теоремы было известно об этой функции F, - это то, что на протяжении всей области изменения ее параметра X где-то в неизвестной пока что нам точке X* существует один-единственный максимум Fmax. И еще две коротких «вводных», которые были включены в условия задачи: во-первых, для начала поиска максимального F был выбран некий диапазон от XI до Х2, а во-вторых, функция F должна быть, попросту говоря, плавно изменяющейся, гладкой и монотонной, то есть без перегибов.

Давайте подумаем, как же, с точки зрения homo sapience, то есть человека разумного, может быть произведен поиск?

В связи с тем, что мы ничего не знаем о значениях функции до тех пор, пока их не измерили, мы, естественно, просто будем вынуждены последовательно брать все новые и новые значения X и для них проводить измерения функции F. Как только появляется некое новое значение F, нам придется сравнивать его с ранее подсчитанными значениями функции. Затем, найдя, что какое-то из них лучше удовлетворяет требованиям, будем сравнивать его уже с тем новым, которое будет посчитано позже...

Если набраться терпения и, не имея представления о решении теоремы Воробьева, действовать по такому алгоритму в лоб, то процесс поиска может продолжаться ну очень долго. И даже ваша готовность прекратить поиск в тот момент, когда значения X и F будут если не самые лучшие, то уж хотя бы в высокой степени близки к лучшим, поможет слабо. Причина в том, что на любом отрезке число точек бесконечно, а вы, скорее всего, выбираете точки для новых измерений далеко не самым оптимальным образом.

Где же выход? В чем же состоит оптимальный план поиска?

Пропуская длинное математическое обоснование, сразу даем вам ответ, найденный нашим соотечественником, господином Воробьевым Н.Н.. Иллюстрация к нему - на рисунке 1.4.1.

Номер (шага) измерения

Черная точка - это "лучшая "точка, то есть максимальная из 4-х точек, сравниваемых на текущем шаге

Цена

0.382 0.618

Рис. 1.4.1. План поиска оптимальной цены

[Старт] [1] [ 2 ] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]