назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [ 300 ] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313]


300

Значимость этих результатов несколько обесценивается тем, что их справедливость ограничивается играми, в которых есть хотя бы одна седловая точка, - во многих играх их нет вообще. В качестве рещения этой проблемы фон Нейман и Моргенштерн предложили несколько расширить множество стратегий игроков в произвольной игре с нулевой суммой, с тем чтобы гарантировать существование седловой точки. Предложенный ими хитроумный способ состоял в том, чтобы наделить игроков устройствами, генерирующими случайный выбор (своего рода рулетками). Формально это означало, что к стратегиям а,, ... добавлялись стратегии вида «играть а, с вероятностью p и... и с вероятностью р, где р + ... + р„ = Ь. Исходные стратегии а,,а„ получили название чистых, а новые, производные от них - смешанных стратегий. При этих условиях стало возможно доказать, что (теорема 3) в любой игре с нулевой суммой тахтшр м(а, Р) < minmax м(а, Р), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда в игре имеется седловая точка. Таким образом, расщирение множества стратегий, повышающее максимальный уровень безопасности ифока А, приводит к тому, что для игр данного класса гарантируется существование седловой точки. Разрешив игроку А «смешивать» сюи стратегии, мы создаем страхующее устройство, приводящее именно к этому результату. Уровень безопасности стратегии а есть то, что А может получить, Ифая эту Сфатегию против оппонента, в точности предвидящего его действия. Правда, не следует забывать, что на практике даже и в этом случае ифок А сможет сыфать только какую-то одну из своих чистых Сфатегий, [которым данная смешанная сфатегия приписывает отличную от нуля вероятность]. Тем не менее, в общем случае применение смешанных сфатегий повыщает уровень безопасности игрока А потому, что в их присутствии противник с некоторой вероятностью [выберет не самую опасную для А сфатегию и] не сможет нанести ему максимальный урон.

Тот факт, что этот маневр фон Неймана - Моргенштерна оказался удачным, находит свое выражение в самой, пожалуй, знаменитой теореме теории иф - так называемой теореме о минимаксе. Она гласит, что в каждой (мафичной) игре с нулевой суммой и смешанными сфатегиями сушествует седловая точка. Теорема о минимаксе является естественным аналогом теорем 1 и 2 для множества всех иф с нулевой суммой и смешанными сфатегиями. Первые доказательства теоремы о минимаксе были основаны на использовании теоремы о неподвижной точке, однако она может быть доказана и «по построению», основываясь на свойствах выпуклых множеств (см.: Gale, 1951). Основные принципы этого метода для случая, когда у игрока А имеются две чистые Сфатегии, могут быть разъяснены при помощи рис. 2.

Обозначим чистые сфатегии ифока А через а, и aj, а сфатегии ифока В - через р,, р„. Введем также q = (q, g„) - вектор смешанных Сфатегий, при которых В играет р. с вероятностью qj(J = 1,я). На рис. 2 показан случай, когда я = 4; по осям отложены платежи игрока А при сфатегиях а, и соответственно. Координаты вершин Yj многоугольника R соответствуют двум платежам ифока А при двух его



/45°

Рис. 2

чистых стратегиях в тех случаях, если В сыграет чистую стратегию р, а все остальные точю! R соответствуют комбинациям двух платежей А при всех возможных смешанных стратегиях В: к примеру, абсцисса точки Учесть м(а,, q) при q = (О, О, 1/2, 1/2). На каждой линии, аналогичной линии РКР уровень риска для В одинаков - таким образом, этот игрок минимизирует свой уровень риска в точке Л/(другие, не показанные на рисунке точки минимального риска лежат на вертикальных линиях, аналогичных РКР, и в вершине многоугольника Щ. В точке Мигрок 5 использует смешанную стратегию (, 1 - , О, 0), где = MY/Y Y, а игрок А получает платеж м* при любой своей чистой или смешанной стратегии - обозначим этот платеж через 0Q,. Как область QMQjO, так и область R выпуклы. Рассмотрим разделяющую их линию /: она получена как продолжение линии У, Y, так что ее уравнение может быть записано в виде *м, + (1 - p*)u2 = и*, где 0<р* <\. Если через р* обозначить смешанную стратегию, при которой А играет стратегию а, с вероятностью р*, то пара (р*, q*) и будет искомой седловой точкой. В самом деле, с одной стороны, все стратегии А дают один и тот же платеж, если оппонент играет q*, так что р* максимизирует этот платеж. С другой же стороны, поскольку / есть определенная выше разделяющая линия p*u + (1 - p*)u2 > и* для всех (м,, и) из R, то платеж А при его стратегии р* составит не менее и* при любой стратегии В.

Теорема о минимаксе показывает, что два принципа рационального выбора Неймана - Моргенштерна совпадают друг с другом во всех играх с нулевой суммой, если в распоряжении игроков имеются сме-



шанные стратегии. Однако, к сожалению, сама предпосылка о допустимости смешанных стратегий отнюдь не естественна. Мало того, что правила игры или объективные ограничения могут исключать возможность применения таких стратегий, сама мысль о том, что рациональные игроки должны применять смешанные стратегии, содержит в себе определенное противоречие. Дело в том, что чистая стратегия, выбранная при помощи рулетки, может оказаться менее безопасной, чем другие варианты, так что индивид, максимизирующий минимальный платеж, имеет все основания пересмотреть свое решение. Более того, он может предвидеть это заранее.

Следует сказать несколько слов и о том, как на практике сбываются предсказания фон Неймана - Моргенштерна относительно поведения индивидов в играх с нулевой суммой. Изо всех таких данных самыми существенными являются результаты лабораторных экспериментов. В ходе этих экспериментов, как правило, одна и та же ситуация сначала объясняется участникам на словах, после чего они участвуют в ряде игр с гипотетическими или небольшими реальными платежами. Противником в такой игре может бьпъ как другой участник, так и компьютерная программа. Основная проблема в подобных экспериментах состоит в том, чтобы заставить участников при принятии рещения в ходе игры руководствоваться исключительно своими платежами, не «привнося» влияний каких бы то ни бьшо посторонних факторов, - например, полезностей выигрыша своих оппонентов. В больщинстве поставленных экспериментов участники однозначно не действовали так, как того требует теория, хотя в некоторьк случаях исходы начинали стремиться к равновесным по мере накопления опыта. Не следует, конечно, забывать о том, что отклонения от поведения, соответствующего седловой точке, могут быть рациональными, если индивид имеет рациональные основания полагать, что его оппонент сам отклоняется от такого поведения. Однако это объяснение неудовлетворительно, поскольку участники, как правило, не использовали тех возможностей, которые предоставлялись им организаторами эксперимента, закладывавшими в программу неседловые стратегии оппонентов. Наконец, индивиды не проявляли особой склонности и к использованию смешанных стратегий.

Впрочем, эти эксперименты бьши поставлены с целью исследования эмпирического феномена, а не собственно того вопроса, на который Нейман и Моргенштерн предложили свой, по их мнению, убедительный ответ: какие стратегии рациональны в играх с нулевой суммой. Вклад этих двух авторов в решение именно такой задачи поистине можно назвать революционным, хотя на практике люди и не спешат следовать такому решению. При всей элегантности, формальной строгости и содержательной глубине теории, предложенной Нейманом и Моргенштерном, на другой чаше весов лежат так и не разрешенные сомнения в адекватности самой чистой теории рационального принятия рещений вообше и в играх с нулевой суммой в частности.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [ 300 ] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313]