назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [ 58 ] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]


58

V.=N(dj)P,-47N(d,),

(20.10)

При сравнении этих двух уравнений мы видим, что величина N(di) в уравнении (20.10) соответствует И в уравнении (20.7). Так как И - это коэффициент хеджирования, то величину N(d,) в формуле Блэка-Шоулза можно объяснить аналогичным образом. То есть она показывает количество акций, которое инвестору следует купить, чтобы получить такие же выплаты, как и по опциону «колл». Аналогично величина EN(d2)/e соответствует В. При этом В - это сумма средств, которую инвестор занимает, осуществляя данную стратегию, те. величина EN(d соответствует номиналу займа, поскольку его сумма должна быть возвращена кредитору в момент Г - дату истечения. Поэтому е- это коэффициент дисконтирования, указывающий на то, что ставка процента по займу составляет Л и он предоставляется на период Т. Таким образом, сложная на первый взгляд формула Блэка-Шоулза может получить простое объяснение. Она позволяет рассчитать стоимость инвестиционной стратегии (покупки акций и получения кредита), которая приносит в момент Гтакие же выплаты, как и опцион «колл».

В нащем примере bl(d,) было равно 0,4013 и £7V(u?2)/eсоставляло $12,19. Таким образом, инвестиционная стратегия, выражающаяся в покупке 0,4013 акций и займе $12,19 в момент времени О, принесет точно такие же выплаты, как и покупка опциона «колл»". Поскольку данная стратегия стоит $2,26, то в состоянии равновесия рыночная цена опциона «колл» должна быть также равна $2,26.

20.7.4Статический анализ

Тщательный анализ формулы Блэка-Шоулза позволяет обнаружить некоторые интересные особенности ценообразования для европейского опциона «колл». В частности, действительная стоимость опциона «колл» зависит от пяти переменных - рыночной стоимости обыкновенной акции Р„ цены исполнения опциона Е, времени до даты истечения Т, ставки без риска R и риска обыкновенной акции ст. Что произойдет с действительной ценой опциона «колл» при изменении одной из переменных, когда остальные четыре сохраняют свои значения?

1.Чем выще цена базисной акции Р„ тем больше стоимость опциона «колл».

2.Чем выще цена исполнения Е, тем меньше стоимость опциона «колл».

3.Чем больше времени до даты истечения 7", тем больше стоимость опциона «колл».

4.Чем выше ставка без риска Л, тем больше стоимость опциона «колл».

5.Чем больще риск обыкновенной акции, тем больше стоимость опциона «колл».

Из перечисленных пяти переменных первые три (Р„ Е и Т) определить легко. Для оценки четвертой переменной - ставки без риска R - часто используют доходность к погашению казначейского векселя, дата погашения которого близка к дате истечения опциона. Пятую переменную - риск базисного актива ст- нельзя получить сразу Поэтому для его оценки предлагается несколько методов. Два из них мы приводим ниже.

20.7.5Оценка риска акции на основе динамики предыдущих цен

Один из методов оценки риска базисной обыкновенной акции для определения стоимости опциона «колл» включает анализ динамики цен за предыдущие периоды. Сначала необходимо получить набор рыночных цен базисной акции в количестве п + 1 или из финансовых изданий (например. Wall Street Journal) или из компьютерной базы данных. После этого цены используются для получения п значений доходности на основе непрерывного начисления, как это показано ниже:



г =ln

SI - I

(20.13)

где P„ и P„ , - рыночная цена базисной акции соответственно в момент времени / и t-l, In обозначает натуральный логарифм от величины Ps,/Ps,-i (который и составляет непрерывно начисляемую доходность).

Например, набор рыночных цен может состоять из цен закрытия в конце каждой из 53 недель. Если цена в конце одной недели была равна $105, а цена в конце следующей недели составляла $107, то доходность за данную неделю г, будет равна 1,886%[1п(107/105)]. Таким образом, мы получим 52 значения недельной доходности (доходности в расчете на неделю).

Получив я значений доходности акции, определяем среднюю доходность акции:

r=~I.r,.(20.14)

Затем средняя доходность используется для оценки дисперсии за период, которая равна квадрату стандартного отклонения за период:

S =-

IC-.-rJ-(20.15)

я- 7

Мы называем это дисперсией за период, потому что ее величина зависит от продолжительности периода времени, за который определяется каждое значение доходности. В нащем примере рассчитывалась доходность за неделю, которая может быть использована для получения величины дисперсии за неделю. Соответственно на основе дневной доходности будет определяться дисперсия в расчете на день, значение которой будет меньще дисперсии за неделю. Однако необходимо получить дисперсию не за неделю и не за день, а в расчете на год. Ее получают, умножив дисперсию за период на число таких периодов в году Таким образом, недельная дисперсия умножается на 52 для получения годовой дисперсии 5(те. = 5250

Существуют и другие методы определения общего риска акции. Один из них строится на субъективной оценке вероятности возможных значений будущих цен акции. Еще один метод позволяет объединить прошлые данные и субъективные оценки.

Прошлые данные не дают точного результата для оценки будущей неопределенности, тем не менее они весьма полезны. Более поздние данные могут оказаться полезнее, чем более ранние. Поэтому некоторые аналитики изучают дневные изменения цены за последние 6-12 месяцев, и иногда придают им более высокие веса, чем более старым данным. Другие изучают прошлые курсы акций и вероятность того, что акции, курсы которых недавно понизились, могут оказаться более рискованными в будущем, чем это было в прошлом. Некоторые обращают больше внимания на субъективные оценки будущего, учитывая при этом неопределенность как в отношении общего развития экономики, отдельных отраслей, так и акций.

В ряде случаев оценки аналитика в отношении риска акции на следующие три месяца могут отличаться от оценок за следующие за ними три месяца. Это ведет к использованию различных значений о для опционов «колл» на одни и те же акции, но с различными датами истечения.



20.7.В Единое мнение рынка относительно риска акции

Еще один путь оценки риска акции основан на предположении о том, что в настоящий момент опцион «колл» правильно оценен рынком. Так как это означает равенство = V, то текущую рыночную цену опциона «колл» Р можно подставить в левую часть уравнения (26.10) вместо значения V,. Далее, в правую часть подставляются все остав-щиеся значения за исключением а. Неизвестная переменная находится путем реще-ния уравнения. Значение о можно представить как общее мнение рынка относительно риска акции и его иногда называют подразумеваемой (или внутренней) изменчивостью (implicit or implied volatility/".

Рассмотрим пример. Пусть ставка без риска равна 6%, опцион «колл» с истечением через щесть месяцев и ценой исполнения $40 продается за $4, цена базисной акции -$36. Можно «подставлять» различные оценки о в правую часть уравнения (20.10) до тех пор, пока не будет достигнуто значение, равное $4. В данном примере оценочная стоимость о величиной 0,40 (т.е. 40%) даст результат для правой части уравнения (20.10), те. текущей рыночной цены опциона «колл».

Можно изменить процедуру, взяв несколько опционов «колл» на одну и ту же акцию. Например, можно оценить значение а по каждому из нескольких опционов «колл» на одну и ту же акцию, которые имеют разные цены исполнения, но одинаковую дату истечения. Затем можно получить среднее значение а и, в свою очередь, использовать его для определения действительной стоимости другого опциона «колл» на ту же акцию с той же датой истечения, но иной ценой исполнения.

В нащем примере значение а можно оценить не только для щестимесячных опционов с ценой исполнения $40, но также для щестимесячных опционов с ценами исполнения $35 и $45. После этого можно получить среднюю величину а на основе трех оценок и использовать ее для получения «наилучшей оценки» а, на основе которой будет определена стоимость щестимесячного опциона на эту же акцию с ценой исполнений $50.

Можно определить эту процедуру несколько иным образом - за счет усреднения оценок а для опционов с различными датами истечения. В нашем примере а можно оценить не только для щестимесячного опциона с ценой исполнения $40, но также для трехмесячного и девятимесячного опционов с ценой исполнения $40. Наилучшее значение (У получается за счет усреднения трех оценок, после этого оно используется для определения стоимости месячного опциона на ту же акцию с ценой исполнения $40.

Другие варианты получения оценок а основаны на использовании различных опционов «колл» на одну и ту же акцию. Например, значения а будут найдены для опционов «колл» с различными датами истечения и ценами исполнения, после чего будет определена средняя величина. Значение а можно оценить по результатам прошлой доходности на основе уравнения (20.15), затем усреднить результат с использованием одной или более оценок подразумеваемой изменчивости. Хотя это и не очевидно, тем не менее методы оценки подразумеваемой изменчивости дают лучшие результаты по сравнению с методами, основанными на использовании прошлых данных о доходности". Однако следует помнить, что все эти методы предполагают постоянную изменчивость на протяжении всего времени действия опциона, а это утверждение отнюдь не бесспорно.

20.7.7 Добавление относительно коэффициентов хеджирования

Наклон кривой стоимости опциона Блэка-Шоулза в любой точке представляет собой ожидаемое изменение стоимости опциона при изменении цены базисной обыкновенной акции на $1. Данная величина соответствует коэффициенту хеджирования опциона «колл» и равна N(di) в уравнении (20.10). Как видно из рис. 20.6 (предполагается, что рыночная цена опциона «колл» равна стоимости, полученной по модели Блэка-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [ 58 ] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]