ilOO

$80Р = $20

Уравнение (20.5) дает коэффициент хеджирования для опциона «пут» -0,4444 [($0 - $20)/ /($125 - $80)]. Обратите внимание на то, что это отрицательная величина. Она означает, что повышение курса акции приведет к уменьшению цены опциона.

Уравнение (20.6) показывает, что Нравно - $51,28. Это - дисконтированная стоимость величины, которая в конце года составляет - $55,55. Так как это отрицательные величины, то они означают сумму, которую надо заплатить за облигации (т. е. отрицательная стоимость «короткой» позиции может рассматриваться как стоимость «длинной» позиции).

Чтобы воспроизвести опцион «пут», следует осуществить «короткую» продажу акций Widget и предоставить кредит (т.е. инвестировать в безрисковую облигацию) $51,28. Так как «короткая» продажа принесет $44,44, а за облигацию будет уплачено $51,28, то чистая стоимость воспроизведения портфеля составит $6,84 ($51,28 - $44,44). Таким образом, это и есть действительная цена опциона «пут».

Это та же цена, что и полученная из уравнения (20.7): $6,84 [0,4444 х $100 - (-$51,28)], где h = 0,4444, В = -$51,28 и = $100. Таким образом, уравнения (20.5), (20.6) и (20.7) можно использовать не только применительно к опционам «колл», но также и по от-

сказывает более быстрый ответ: опцион должен продаваться за $0. Так получается потому что через шесть месяцев акция Widget булет стоить или $100, или $80. Но независимо от уровня курса акции опцион не будет стоить ничего. То есть если через шесть месяцев курс акции равен $89,44, то инвесторы поймут, что опцион «колл» в конце года не будет стоить ничего, и поэтому не станут за него платить.

В-третьих, представим, что время еще не прошло, т.е. сейчас момент времени 0. В этом случае «дерево цены» можно упростить до следующего вида:

<$111,80 Р= $15,72 $89,44 Р = $0

Из уравнений (20.5) и (20.6) следует, что коэффициент хеджирования h равен 0,7030 [($15,72 - $0)/($111,80 - $89,44)] и сумма займа 5 составляет $60,41 [(0,7030 х $89,44 -- $0)/1,0408]. Применяя уравнение (20.7), получаем стоимость опциона «колл» в момент t = 0. Она равна $9,89 (0,7030 х $100 - $60,41).

На этом можно не останавливаться. Вместо рассмотрения двух шестимесячных периодов можно проанализировать квартальные или 12-месячные периоды. Обратите внимание на то, что число значений курса акции Widgets конце года превышает число рассматриваемых за год периодов на единицу Таким образом, когда на рис. 20.5(a) рассматривались годичные периоды, то в конце года было два значения курса. Когда мы использовали курсы за полгода, то в конце года было три курса. Отсюда следует, что при квартальных или месячных периодах в конце года соответственно будет 5 или 13 значений курса.

20.6.2 Опционы «пут»

Можно ли использовать модель ВОРМпля оценки стоимости опционов «пут»? Так как формулы охватывают любой набор выплат, то их можно использовать для этой цели. Рассмотрим еще раз акции компании Widget ъ случае годичного периода, при этом цена исполнения опциона «пут» - $100, дата истечения - один год с сегодняшнего числа. «Дерево цены» будет выглядеть следующим образом:

$125Р = $0

ношению к опционам «пут». Кроме того, аналогична и процедура определения стоимости опциона «пут» в случае, когда между начальной датой и датой истечения лежит больше, чем один период.

20.6.3 Паритет опционов «пут» и «колли

Выше было показано, что опцион «колл» на акции компании Widget имеет коэффициент хеджирования 0,5556. Обратите внимание на то, что коэффициент хеджирования для опциона «пут» равен 0,5556 - 1 = -0,4444. Это не совпадение. Коэффициенты хеджирования европейских опционов «пут» с одинаковой ценой исполнения и датой истечения связаны следующим образом:

K-l=h,(20.8)

где h, и hp означают соответственно коэффициенты хеджирования опционов «колл» и «пут».

Еще более интересной представляется взаимосвязь рыночных цен опционов «колл» и «пут» на одну и ту же акцию с единой ценой исполнения и датой истечения. Вновь рассмотрим пример с опционами на акции Widget с ценой исполнения $100 и датой истечения через год. Необходимо сравнить две инвестиционные стратегии. Стратегия А включает покупку опциона «пут» и акции. (Такую стратегию иногда называют «защитный пут», или «обрученный пут»). Стратегия В включает покупку опциона «колл» и инвестирование части средств, равной дисконтированной величине цены исполнения, в безрисковую облигацию.

Стоимость данных инвестиционных стратегий на дату истечения можно рассмотреть, исходя из двух сценариев развития: курс акции Widget ниже цены исполнения $100, курс акции Widget выше цены исполнения. (Случай, когда она равна цене исполнения, можно добавить к любому из двух вариантов, при этом результаты будут прежними.) Это показано в табл. 20.1. Обратите внимание, что если акция Widget на дату истечения стоит меньше, чем цена исполнения $100, то стратегии принесут выплаты в размере $100. Соответственно если цена акции Widget выше $100, то инвесторы будут располагать акцией, которая стоит больше $100. Таким образом, так как обе стратегии дают одинаковые результаты, то в условиях равновесия их стоимость должна быть одинаковой:

Р -Ь Р = Р -Ь Е/е",(20.9)

где Рр ч Р, - соответственно текущий рыночный курс опционов «пут» и «колл».

Данное уравнение представляет паритет опционов «пут» и «колл» (put-callparity). Из табл. 20.1 видно, что стоимость каждой стратегии равна $106,84, как и предполагалось ранее уравнениями (20.5), (20.6) и (20.7).

Таблица 20.1

Паритет опционов «пут» и «колл» на акции компании Widget

Стратегия

А. Покупка опциона «пут»

Покупка акции

В. Покупка опциона «колл» Инвестирование дисконтированной стоимости Е

в безрисковый инструмент

Начальная стоимость

Рр + Ps =

= $6,84 + $100 = = $106,84

Р„ + Е/е = = $14,53 + $92,31 = = $106,84

Стоимость на дату истечения

Р,<Е= $100

Исполнение опциона «пут», получение $100

Отказ от исполнения опциона «колл», получение $100 от безрискового инструмента

Е= $100 > Р,

Отказ от исполнения опциона «пут», наличие акции стоимостью Р,

Исполнение опциона «колл», получение акции стоимостью Р,

20.7

Модель Блэка-Шоулза для опционов «колл»

Рассмотрим, что произойдет с биноминальной моделью оценки стоимости опциона, если число периодов до даты истечения возрастет. Например, для опциона на акции компании Widget с истечением через год можно построить «дерево цены» с числом периодов, равным числу торговых дней в году, которых насчитывается приблизительно 250. Таким образом, в конце года для акций Widget будет существовать 251 возможная цена. Нет необходимости говорить, что действительная цена любого опциона «колл» для такого «дерева» быстро определяется компьютером по такому же принципу, как было показано вьше для акций компании Widget. Если число периодов еще более увеличить, считая каждый час торгового дня, тогда они будут насчитывать порядка 1750 (7х 250) часовых периодов (что соответствует 1751 возможной цене в конце года). Обратите внимание на то, что число периодов в году возрастает при уменьщении продолжительности каждого периода. Максимально возможным будет бесчисленное количество бесконечно малых периодов (и соответственно бесконечное число возможных курсов в конце года). В таком случае модель ВОРМ, представленная уравнением (20.7), превращается в модель Блэка-Шоулза, названную так в честь ее авторов.

20.7.1 Ограничения применения модели Блэка-Шолеса

Во-первых, данная модель будет иметь ограниченное применение, так как почти все опционы в Соединенных Штатах являются американскими, т.е. могут быть исполнены в любой момент времени до даты истечения, тогда как модель Блэка-Шоулза применима только для европейских опционов. Строго говоря, модель применима только к опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Однако по больщинству обыкновенных акций, на которые выписываются опционы, в действительности выплачиваются дивиденды.

Первый недостаток модели Блэка-Шоулза - применимость только для европейских опционов - можно обойти довольно легко, если это опцион «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Можно показать, что инвестору, купившему американский опцион «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, бессмысленно исполнять такой опцион до даты истечения". Так как нет смысла исполнять такой опцион до даты истечения, то сама возможность исполнения значения не имеет. Следовательно, не будет различий в ценах американского и европейского опционов «колл». В свою очередь, это означает, что модель Блэка-Шоулза может быть использована для действительной оценки стоимости американских опционов «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды.

Это можно наглядно увидеть на рис. 20.6, однако прежде введем новую терминологию. Опцион «колл» называют опционом без выигрыша (at the money), если рыночная цена базисного актива примерно равна цене исполнения опциона «колл». Если цена актива ниже цены исполнения, то такой опцион называют опционом с проигрышем (out of the money). Если рыночная цена выше цены исполнения, то опцион именуют опционом с выигрышем (in the money). Иногда используют еще более точные характеристики, например, можно услышать такие определения, как «около выигрыша», «с большим выигрышем» или «с большим проигрышем».

Как было отмечено выше, стоимость опциона при немедленном исполнении называется его внутренней стоимостью. Эта стоимость равна нулю для опциона без выигрыша. Если опцион с выигрышем, то стоимость равна разности между ценой актива и ценой исполнения. Превышение цены опциона над его внутренней стоимостью называют временной стоимостью (time value) (или временной премией). Как видно из рис. 20.3(a), временная стоимость опциона «колл» на дату истечения равна нулю. Тем не менее до этого момента временная стоимость является положительной величиной.