V= V. + lr = L-- +
(18.27)
,= x{\ + k) {k-g){\+kY В общем виде, доходы на акцию в произвольный период t могут быть выражены в виде произведения и всех темпов роста дохода, начиная с периода О до времени г.
£,= £„ (1(1- С(18-44)
Поскольку величина дивидендов на одну акцию в любой период времени t равна доле выплат за этот период, умноженной на доход по акции, из равенства (18.44) следует, что:
О, = = /7,£„ (1 + (1 + g,) ... (1 + g,).(18.45)
Заменяя числитель в равенстве (18.37) правой частью равенства (18.45) и затем деля обе части на Е, получим следующую формулу определения «нормального» отношения «цена-доход» в рамках модели переменного роста;
0 (1 + А:)(ХЛ-кУ
{\kV
P(l+g,)(l+g,2)-(+g.r)(J+g)
{k-g) (1 + А:)
(18.46)
Пример
Рассмотрим снова компанию Magnesium. Текущая цена ее акции $55, а доходы на одну акцию и дивиденды за прошлый год составили $3 и $0,75 соответственно. Прогноз на следующие два года по доходам и дивидендам, а также темпам роста дохода и доли выплат следующий:
= $2,00;£, = $5,00;g, = 67%;р, = 40%;
А = $3,00;Е, = $6,00;g, = 20%;р, = 50%.
Пример
Ранее предполагалось, что за прошлый год компания Copper выплатила дивиденды в размере $1,80 на акцию, со следующего года дивиденды будут расти на 5% в год. Предполагалось также, что требуемая ставка доходности по акциям компании Copper равна 11% и текущий рыночный курс акции составляет $40. Теперь, предполагая, что £„ = 2,70, легко увидеть, что доля выплат равна 66/3% ($1,80/$2,70). Это значит, что «нормальное» соотношение «цена-доход» для акций компании Copper, в соответствии с уравнением (18.43), равно 11,7 (0,6667 х (1 + 0,05)/(011 - 0,05)). Поскольку это меньше, чем действительное соотношение «цена-доход» для акций компании Copper, равное 14,8 ($40/$2,70), то акции этой компании переоценены.
18.6.3 Модель переменного роста
Ранее отмечалось, что наиболее общая DDM - это модель переменного роста, в которой предполагается, что дивиденды растут с переменным темпом роста до некоторого периода времени Т в будущем, после чего они увеличиваются с постоянным темпом роста. В этом случае приведенная стоимость всех дивидендов определяется путем сложения приведенных стоимостей дивидендов до периода Г включительно (К) и приведенных стоимостей всех дивидендов после периода Т (Vj+):
0 (1+0,15)(1+0,15)
0,50 (1+0,67)(1+0,20)(1+0,10) 3 (0,15-0,10) (1 +0,15)
Поскольку действительное отношение «цена-доход», равное 18,33 ($55/$3), близко к «нормальному» значению 18,01, то акции компании Magnesium могут считаться справедливо оцененными.
Источники роста доходов
До сих пор не было дано объяснения, почему доходы или дивиденды должны расти в будущем. Один из вариантов такого объяснения дается при помощи модели постоянного роста. Предполагая, что новый капитал не привлекается извне и акции не выкупаются (следовательно, число акций в обращении не меняется), часть прибыли, не выплаченная акционерам в виде дивидендов, будет использована для новых инвестиций. Пусть р обозначает долю выплат в год г, тогда (1 - р) будет равно величине невыплаченной прибыли, которую также называют удерживаемой долей {retention ratio). Далее, новые инвестиции компании в расчете на одну акцию обозначаются через f и равны:
,= (1-/,),-
Если новые инвестиции дают среднюю доходность на капитал в размере г, на величину rj в год / и аналогично в последующие годы, то они увеличат доходы на одну акцию в период /+1 и в последующие годы. Если все предыдущие инвестиции также приносят доходы с постоянным темпом роста, то доходы в следующем году будут равны доходам в текущем году плюс новые доходы, полученные в результате новых инвестиций:
£•, + 1 = £•, + /-,/, = Е,+ г,(\- р,)Е, = £-,[!+ г, (1 - р,)].(18.48)
Поскольку ранее было показано, что рост доходов на одну акцию есть величина, равная:
£•,= £-,, (1 +g„),(18.35)
то отсюда следует, что:
f,., = f,(l +„.,).(18.49)
Сопоставление равенств (18.48) и (18.49) дает следующее уравнение:
Если темп роста доходов на одну акцию g , будет постоянным во времени, то средняя доходность капитала по новым инвестициям г и доля выплат р должны быть также постоянны. В этом случае равенство (18.50) можно упростить, удаляя индексы, соответствующие периоду времени:
„ = -(1 -Р)-
Поскольку темп роста дивидендов на одну акцию g совпадает с темпом роста доходов на одну акцию g, то это равенство можно также записать в виде:
Начиная со времени Т = 2, прогнозируется постоянный рост дивидендов и доходов в размере 10%. Это означает, что = $3,30, = $6,60, g = 10% п р 50%.
При требуемой ставке доходности в 15% с помощью равенства (18.46) можно следующим образом оценить «нормальное» соотнощение «цена-доход» для акций компании Magnesium:
V 0,40 (1 + 0,67) 0,50 (1 + 0,67) (1 + 0,20)
V=D,
\ + r(\-p)
= D,
k-r{\-p)
(18.52)
k-r{\-p)
При этих предположениях стоимость акции (и, следовательно, ее цена) при прочих равных условиях должна быть тем выще, чем выше средняя доходность капитала по новым инвестициям.
Пример
Продолжая пример с компанией Copper, напомним, что = $2,70 и Р = 66/3%. Это означает, что 33/з% доходов на одну акцию за истекший год были удержаны и реинвестированы, что составило $0,90 (0,3333 х $2,70). Доходы на одну акцию за текущий год £, ожидаются в размере $2,835 ($2,70 х (1 + 0,05)), поскольку степень роста для компании равна 5%.
Источником увеличения доходов на одну акцию, которое составит $0,135 ($2,835 -- $2,70), являются те $0,90 на акцию, которые были реинвестированы в момент времени f= 0. Средняя доходность капитала по новым инвестициям /-равна 15%, поскольку $0,135/$0,90 = 15%. Иначе говоря, реинвестированные доходы в размере $0,90 на акцию могут рассматриваться как источник ежегодного увеличения доходов, приносящий на каждую акцию $0,135. Это увеличение доходов будет происходить не только в момент времени t = 1, но и также при г = 2, г = 3 и т.д. Другими словами, инвестиции в сумме $0,90 в момент времени / = О будут генерировать постоянный ежегодный приток денежных средств в размере $0,135, начиная с момента времени t = \.
Ожидаемые дивиденды в момент времени / = 1 можно вычислить путем умножения ожидаемой доли выплат р (66/з%) на ожидаемые доходы на одну акцию $2,835, т.е. 0,6667 X $2,835 = $1,89. Величину ожидаемых дивидендов также можно вычислить, умножая 1 плюс темп роста g (5%) на величину дивидендов на одну акцию за истекший период а = $1,80, т.е. 1,05 х $1,80 = $1,89.
Легко увидеть, что темп роста дивидендов на одну акцию (5%) есть произведение удерживаемой доли (33/з%) и средней доходности капитала по новым инвестициям (15%), что в результате дает 5% (0,3333 х 0,15).
Через два года от текущего момента (f = 2) доходы на одну акцию ожидаются в размере $2,977 [$2,835 х (1 -ь 0,05)]. Увеличение на $0,142 ($2,977 - $2,835) произошло за счет удержания и реинвестирования $0,945 (0,3333 х $2,835) на одну акцию в момент времени f = 1. Это ожидаемое увеличение доходов на одну акцию ($0,142) есть результат доходов, полученных в результате реинвестирования, поскольку 0,15 х $0,945 = $0,142 (15% - средняя ставка доходности капитала по новым инвестициям; 0,945 - величина удерживаемого капитала в расчете на одну акцию).
Ожидаемые доходы на одну акцию в момент времени t = 2 могут рассматриваться как состоящие из трех частей. Первая часть - это доходы, полученные за счет активов, которые имелись на момент времени t = О ($2,70). Вторая часть - это доходы, полученные за счет реинвестирования $0,90 в период времени t = О, составивший $0,135. Третья часть - это доходы за счет реинвестирования $0,945 в период времени Г = 1, составившие $0,142. Просуммировав эти три части, можно увидеть, что они дают = $2,977 ($2,70 + $0,135 + $0,142).
Дивиденды в момент времени f = 2 ожидаются на 5% больше, чем в момент времени /= 1; они составят $1,985 (1,05 х $1,89) на одну акцию. Эта величина соответствует
g=r(l-p).(18.516)
Из данного уравнения видно, что темп роста g зависит от: 1) доли доходов, которая удерживается (1 - р): 2) средней доходности капитала по удерживаемым доходам г.
Формула оценки при предположении постоянства роста, представленная равенством (18.20), может быть модифицирована путем замены g на выражение, стоящее в правой части равенства (18.516), что в результате дает:
( 1+