Рис. 16.2. Выпуклость облигаций

Дюрация

Дюрация (duration) есть мера «средней зрелости» потока платежей, связанных с облигацией. Более точно это можно определить как взвешенное среднее сроков времени до наступления остающихся платежей. Рассмотрим облигацию с ежегодным купонным платежом в $80, сроком до погашения 3 года и номиналом $1000. Так как ее текущий рыночный курс равен $950,25, то ее доходность к погашению равна 10%. Как показано в табл. 16.1, дюрация этой облигации равна 2,78 года. Эта величина получена следующим образом. Приведенная стоимость каждого платежа умножается на время, через которое этот платеж должен поступить, затем все полученные значения суммируются, сумма ($2639,17) делится на рыночный курс облигации ($950,25).

16.4.1 Формула

Конкретно, формула для вычисления дюрации (D) выглядит следующим образом:

I,PV(C,)

I- 1

(16.1)

где PV(C) обозначает приведенную стоимость платежей, которые будут получены в момент времени t (приведенная стоимость вычислена с помощью ставки дисконтиро-

вания, равной доходности к погашению облигации); обозначает текущий рыночный курс облигации; Г - срок до погашения облигации

Таблица 16.1

Расчет дюрации

2639,17

Дюрация =-- = 2,78 года.

950,25

Почему дюрацию можно определять как «среднюю зрелость потока платежей, связанных с облигацией»? Это становится ясно, если понять, что текущий рыночный курс облигации Р равен сумме приведенных стоимостей потоков PV{C) при ставке дисконтирования, равной доходности к погашению:

(16.2)

Таким образом, эквивалентным способом подсчета дюрации является запись уравнения (16.1) в несколько другой форме:

PV{C,)

(16.3)

Вначале приведенная стоимость каждого платежа РУ{С) выражается как некоторая доля рыночного курса (Р). Затем эти доли умножаются на величины соответствующих периодов времени до наступления платежей. Наконец, полученные результаты суммируются и в итоге получается дюрация.

В примере, приведенном в табл. 16.1, величина 0,07653 ($72,73/$950,25) - это часть рыночного курса облигации, которая должна быть получена через 1 год. Аналогично, величина 0,06958 ($66,12/$950,25) должна быть получена через 2 года и величина 0,85388 ($811,40/$950,25) должна быть получена по истечении 3 лет. Заметим, что в сумме эти доли дают единицу, что и позволяет использовать их в качестве весов при вычислении взвешенного среднего. Таким образом, чтобы вычислить взвешенное среднее платежей по облигации, каждый вес нужно умножить на соответствующий отрезок времени до наступления данного платежа и затем полученные произведения сложить: (1 X 0,07653) + (2 X 0,06958) -Н (3 х 0,85388) = 2,78 года.

\+у!

(16.46)

где АР означает изменение курса облигации, Р - ее начальный курс, Ау - изменение доходности к погашению облигации, у - исходную доходность к погашению.

Для примера рассмотрим облигацию, которая в настоящий момент продается по $1000 при доходности 8%. При условии, что дюрация облигации составляет 10 лет, насколько изменится ее цена при увеличении доходности до 9%? Используя равенство (16.46), подучим Ду = 9% - 8% = 1% = 0,01, отсюда Ау 1(У + у) = 0,01/1,08 = 0,00926 = 0,926% и -Z) \Ау /(1 -I- у)\ = -10 (0,926%) = -9,26%, те. рост доходности на 1% приведет к падению курса приблизительно на 9,26% до $926 [$1000 - (0,0926 х $1000)].

16.4.3 Взаимосвязь выпуклости и дюрации

Теперь будет полезно остановиться на взаимосвязи понятий «выпуклость» и «дюрация». В конце концов и та, и другая имеют отношение к измерению зависимости курса облигации от доходности к погашению. На рис. 16.3 показана природа этой зависимости. Как и на рис. 16.2, на этом рисунке представлена облигация с текущим курсом Р и доходностью к погашению у. Заметим, что прямая есть касательная к графику кривой в точке, соответствующей текущему курсу и доходности.

Если доходность облигации увеличится до у*, то курс упадет до Р~. И наоборот, если доходность снизится до у, то курс поднимется до Р. Однако в соответствии с уравнением (16.46) оценочные курсы будут равны /" и соответственно. Дело в том, что это равенство, как отмечалось ранее, является неточным. Эта неточность вызвана

Заметим, что бескупонная облигация имеет дюрацию, равную Г, поскольку с ней связан только один платеж. Так как для таких облигаций Р= PV(C), то уравнение (16.3) принимает вид:

PV{Cj) D=-I x 7=1х 7= Т.

Для всякой купонной облигации дюрация будет всегда меньше, чем период времени до срока погашения Т. Это также следует из уравнения (16.3). Так как максимальное значение, которое может принимать t, равно Т, и каждое ?умножается на вес PV(C)/P, то, следовательно, D должна быть меньше Т.

16.4.2 Связь с изменением курса облигации

Одно из следствий теоремы 5 заключается в том, что облигации, имеющие одинаковые сроки погашения, но различные купонные платежи, могут по-разному реагировать на одно и то же изменение процентной ставки, те. курсы этих облигаций могут меняться по-разному при заданном изменении процентной ставки. Однако облигации с одинаковой дюрацией будут реагировать сходным образом. Таким образом, процентное изменение курса облигации связано с ее дюрацией по следующей формуле:

ИзменениеПроцентное изменение

курса (в %) ~ (1 + доходность облигации)

где символ S означает «приближенное равенство». Эта формула показывает, что когда доходности двух облигаций, имеющих одну и ту же дюрацию, изменяются на один и тот же процент, то и курсы этих облигаций изменяются примерно на один и тот же процент Равенство (16.4а) иначе можно записать в следующем виде: