безрискового актива к каждому из факторов, а также ожидаемая доходность каждого актива таковы:

ЦеннаяЬ,,Ь,2Ожидаемая

бумагадоходность

(в %)

А0,500,8016,2

В1,501,4021,6

г,0,000,0010,0

а.Доте Миллер имеет $100 для инвестиций и продает акции В на $50. После этого Доте покупает акции А на $150. Какова чувствительность портфеля Доте к двум факторам? (Требование внесения гарантийного депозита на брокерский счет игнорируйте.)

б.Если Доте берет взаймы $100 по безрисковой ставке и инвестирует взятые деньги вместе с исходными $100 в ценные бумаги А и В в пропорции, описанной в пункте (а), то какова чувствительность портфеля к двум факторам?

в.Какова ожидаемая доходность портфеля, описанного в пункте (б)?

г.Какова ожидаемая премиальная доходность фактора 2?

15.Данделион Пфеффер держит портфель со следующими характеристиками:

ЦеннаяЧувстви-Чувстви-Доля Ожидаемая

бумага тельность тельностьдоходность

к фактору 1 к фактору 2(в %)

А2,501,400,3013

В1,600,900,3018

С0,801,000,2010

D2,001,300,2012

Предположим, что доходности определяются двухфакторной моделью. Данделион решает создать арбитражный портфель путем увеличения доли бумаги В на 0,05.

а.Каковы должны быть веса остальных трех бумаг в портфеле?

б.Какова ожидаемая доходность арбитражного портфеля?

16.Правда ли, что если APT - верная теория ценообразования, то соотношение риска и доходности, полученное из САРМ, обязательно неверно? Почему?

17.Если выполняются и APT, и САРМ, то почему премия за фактор риска отрицательна для фактора, который негативно коррелирован с рыночным портфелем? Объясните математически и по смыслу

18.Некоторые утверждают, что рыночный портфель никогда не может быть измерен и поэтому СЛРМ непроверяема. Другие утверждают, что APT не определяет ни число факторов, ни их сущность и поэтому также непроверяема. Если подобные точки зрения верны, означает ли это, что обе теории бесполезны? Объясните.

19.Хотя APT не определяет сущность применяемых факторов, большинство эмпирических исследователей фокусируют свое внимание на определенных типах факторов. Каковы общие характеристики этих факторов?

20.Предположим, что САРМ выполняется и доходности ценных бумаг соответствуют однофакторной модели. Известна следующая информация:

сг = 400; 6 = 0,70; 6 = 1,10; COV{F, г) = 270.

Примечания

Факторные модели подробно обсуждаются в гл. 11.

Существуют другие способы записи уравнения факторной модели. Заметим, что из уравнения (12.1) следует, что г. = а. + Ь. х f,, где /v и f, - ожидаемая доходность ценной бумаги / и ожидаемое значение фактора соответственно. Подставляя г. - Л. вместо а. в уравнение (\2.\), получим следующую альтернативную формулировку однофакторной модели: г. = + 6, (F - F + + е,; приняв/, = £, - F, получим третий вариант записи однофакторной модели: г. = Т. + Ь/ + е, (где / интерпретируется как непредвиденное изменение значения фактора).

Всегда будет бесконечное множество решений, если неизвестных больше, чем уравнений. Например, рассмотрим ситуацию с одним уравнением и двумя неизвестными: У= ЗХ. Существует бесконечное множество пар Хп Y, удовлетворяющих уравнению, например 1 и 3, 2 и 6, 3 и 9.

* Если ожидаемая доходность отрицательна, то изменение знаков долей приведет к тому, что ожидаемая доходность станет положительной. Заметим, что новые доли также дают в сумме нуль и будут представлять портфель с нулевой чувствительностью к факторам. Таким образом, новые доли соответствуют арбитражному портфелю.

= .РГигнорирует нефакторный риск. Поскольку общий риск портфеля в соответствии с однофакторной моделью (см. уравнение (11.6а) гл. И) равен Ь- х ctJ + а при условии, что арбитражный портфель не имеет факторного риска по построению (т.е. "а]. = О, так как = 0), то

а.Подсчитайте коэффициенты «бета» для бумаг А и В.

б.Если безрисковая ставка равна 6% и ожидаемая доходность рыночного портфеля -12%, то какова равновесная ожидаемая доходность ценных бумаг А и В1

21.Предположим, что С4РМ выполняется и доходности соответствуют двухфакторной модели. Известна следующая информация:

о1= 324; 6, = 0,80; 6 = 1,00;COV(F, г) = 156;

= 1,10;= 070; COV(F, г) = 500.

Подсчитайте коэффициенты «бета» для бумаг А и В.

Вопросы экзамена CFA

22.Будучи менеджером большого хорошо диверсифицированного портфеля акций и облигаций, вы знаете, что изменения определенных макроэкономических переменных могут прямо повлиять на показатели портфеля. Вы используете подход теории арбитражного ценообразования (APT) к планированию портфеля и хотите проанализировать возможное влияние следующих факторов:

♦промышленное производство;

♦инфляция;

♦премия за риск или спреды качества;

♦сдвиги кривых доходности.

а.Покажите, как каждый из этих четырех факторов влияет на денежные потоки и ставки дисконта в традиционной модели оценки дисконтированных денежных потоков. Объясните, как неожиданные изменения каждого из этих факторов могут повлиять на доходность портфеля.

б.Предположим, вы используете стратегию распределения активов в постоянной пропорции: 60% акции и 40% облигации, которую корректируете ежемесячно. Сравните вышеописанный активный подход к управлению портфелем, учитывающий макроэкономические факторы, со стратегией сохранения постоянной пропорции.

приходим к выводу, что арбитражный портфель должен быть достаточно диверсифицирован, чтобы иметь незначительный нефакторный риск и, следовательно, незначительный общий риск.

Технически это уравнение ценообразования верно лишь приблизительно и может быть существенно неверным в случае малого числа активов.

Почему выбраны Aq = 8 и Л, = 4? Значения, которые принимают эти два параметра в равновесии, зависят от многих вещей, таких, как относительная несклонность инвестора к риску капитал и предпочтения коротких сроков.

Если бы точка В была изображена ниже линии оценки финансовых активов APT, то инвесторы сделали бы все противоположным описанному образом, т.е. купили бы S и продали В.

Эту операцию легко представлять как своп акций, при котором акция S обменивается на В. Поскольку это своп (обмен), то дополнительные ресурсы не требуются. Более того, так как В и S имеют одинаковые чувствительности к фактору то этот своп не изменит чувствительности портфеля. Замещение S на В увеличит доходность портфеля, так как В имеет большую ожидаемую доходность, чем S.

"Технически, прямая ценообразования APT слегка сместится вверх вследствие продажи S.

" Если фактором является рыночный индекс (вместо рыночного портфеля), такой, как S&P 500, то 5, будет соответствовать ожидаемой доходности на индекс, а bj будет представлять коэффициент «бета» акции /, измеренный по отношению к индексу который в гл. 8 обозначался через /}.,.

Это уравнение получается путем следующих вычислений: COV(r., rj) = COV{a- + b.F + е., г) упрощается - COV(r., = b. COV{F, rf) + COV(e., z-). Поскольку последнее слагаемое близко к нулю, это уравнение сокращается до COV{r., i-j) = b. COV{F, z-). Деля обе части на сту и вспоминая (гл. 10), что СОК(/-,, г)/ ст = Д., получаем уравнение (12.26).

COK(f, r) будет положительной, если корреляция положительна, так как эта величина равна произведению корреляции и стандартных отклонений f, и г.

См. примечание 13.

Чем теснее привязан фактор к рыночному портфелю (т.е. чем больше корреляция между F и Гд), тем больше связанная с этим фактором ожидаемая премия доходности Л,.

*Для понимания этого утверждения см. примечание 13.

" В ГЛ. 11 описывалась трехфакторная модель, разработанная Фамой и Френчем. В этой модели факторы представляли собой доходности на: (1) общий рыночный индекс; (2) разницу между индексами больших и малых акций; (3) разницу между индексами компаний с высоким и низким соотношением балансовой и рыночной стоимости компании.

" Заметим, что третий фактор может быть интерпретирован как характеристика временной структуры процентных ставок, а четвертый фактор - как мера премии за риск неуплаты, которую инвестор требует за приобретение рисковых корпоративных облигаций вместо казначейских облигаций.

" Технически, использована часть ставки доходности S&P 500, которая не зависела от четырех других факторов.

Технически, использованы реальные (с учетом инфляции) величины для всех переменных, кроме процентной ставки.

Модели дисконтирования дивидендов подробно обсуждаются в гл. 18.

Ключевые термины

теория арбитражного ценообразования

чувствительность

арбитраж

арбитражный портфель

чистый факторный портфель премия за факторный риск рыночный портфель