-COV(F„rJ

(12.27)

Сравнение этого уравнения с уравнением (12.9) показывает, что если предположения и APT (с одним фактором), и СЛРМ выполнены, то должно выполняться следующее соотношение:

и., (/•.„ V---(J2 28)

Сама по себе APT ничего не говорит о размере премии Aj за факторный риск. Однако если модель СЛРМсправедлива, то эта теория может дать некоторую информацию. Эта информация содержится в уравнении (12.28), которое верно, если предположения обеих теорий выполнены.

Представим, что фактор меняется вместе с рыночным портфелем, т.е. фактор положительно коррелирован с рыночным портфелем так, что COV(F, rj положительна. Если ст,,. и (/•„ - Гу) положительны, то правая часть уравнения (12.28) положительна и поэтому Я[ положительна. Далее, поскольку Aj положительна, то из уравнения (12.9) следует, что чем больше величина Ь., тем больше ожидаемая доходность ценной бумаги. Обобщим эти рассуждения. Если фактор положительно коррелирован с рыночным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет положительной функцией чувствительности ценной бумаги к этому фактору

Если фактор меняется в направлении, противоположном рыночному портфелю, т.е. f[ отрицательно коррелировано с г, то А, будет отрицательной. Это означает, что чем больше величина 6,, тем меньше ожидаемая доходность ценной бумаги. Обобщая, можно сказать, что если фактор отрицательно коррелирован с рыночным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет отрицательной функцией чувствительности ценной бумаги к этому фактору.

Рыночный индекс как фактор

Что произойдет в случае, когда доходы генерируются по однофакторной модели, но вместо фактора промышленного производства используется доходность рыночного индекса типа S&P 5001 Рассмотрим ситуацию, в которой выполняются следующие условия: (1) доходы на индекс и рыночный портфель полностью коррелированы; (2) дисперсии доходностей рыночного портфеля и рыночного индекса идентичны.

Во-первых, из уравнения (12.26) следует, что коэффициент «бета» акции будет равен ее чувствительности. Учитывая только что введенные условия, получаем, что COV(F, 1\) = (TfiO = о-,,, поэтому COV{F, rj / а = 1. Следовательно, уравнение (12.26) сводится к р. = Ь..

Во-вторых, при этих двух условиях А[ будет равняться г,, - г. Из того, что COV(F, м)/*], ~ Ь следует, что уравнение (12.28) сводится к Aj= 7 - Так как 5 - rj-= А, (уравнение (12.10в)), то 5 = г. Таким образом, ожидаемая доходность портфеля, имеющего единичную чувствительность к доходности индекса S&P 500, равна ожидаемой доходности рыночного портфеля.

Подведем итог. Если может быть найден заменитель рыночного портфеля, такой, что выполнены два введенных ранее условия, то СЛРЛ/будет выполняться в том случае.

Премия за факторный риск

Продолжая это обсуждение, посмотрим, что случится, если выражение для /?. из уравнения (12.26) подставить в уравнение (12.24):

4.Идея арбитражного портфеля заключается в продаже одних ценных бумаг для приобретения других («короткая» и «длинная позиции»). Он должен иметь чистую рыночную стоимость, равную О, нулевую чувствительность к каждому фактору и положительную ожидаемую доходность.

5.Инвесторы будут инвестировать в арбитражные портфели, повышая цены на покупаемые ценные бумаги и понижая на продаваемые, до тех пор, пока в результате этой деятельности арбитражные возможности не исчезнут.

6.После исчезновения арбитражных возможностей равновесная ожидаемая доходность ценной бумаги будет линейной функцией чувствительностей к факторам.

7.Премия за факторный риск - это доходность сверх безрисковой ставки в ситуации равновесия для портфеля с единичной чувствительностью к данному фактору и нечувствительного к остальным факторам.

8.APT и САРМ могут согласовываться друг с другом. Если доходы по ценной бумаге генерируются по факторной модели и выполняется САРМ, то коэффициент «бета» ценной бумаги зависит от чувствительностей ценной бумаги к факторам и от ковариации факторов и рыночного портфеля.

9.РГоставляет без ответов вопросы о количестве и сущности факторов, которые влияют на ожидаемые доходности. В большинстве исследований этой проблемы выделены индикаторы общей экономической активности, инфляции и процентные ставки.

Вопросы и задачи

1.В чем заключаются существенные различия между APT и САРШ

2.Почему инвестору выгодно формировать арбитражный портфель?

3.Какие три условия необходимы для формирования арбитражного портфеля?

4.Для однофакторной модели (г, = 4% + b.F+ е) рассмотрим три хорошо диверсифицированных портфеля (с нулевым нефакторным риском). Ожидаемая величина фактора - 8%.

Портфель

А В С

Чувствительность к фактору

0,80 1,00 1,20

Ожидаемая доходность (в %)

10,4 10,0 13,6

Имеется ли портфель с ожидаемой доходностью, которая не соответствует уравнению факторной модели? Какой? Можете ли вы найти комбинацию двух других портфелей, которая имеет ту же чувствительность к фактору, что и «несоответствующий» портфель? Какова ожидаемая доходность этой комбинации? Какие действия должен предпринять инвестор в отношении этих трех портфелей?

5. Соке Сиболд держит портфель со следующими характеристиками. (Предположим, что доходы генерируются по однофакторной модели.)

Ценная бумага

А В С

Чувствительность к фактору

2,0 3,5 0,5

Доля

0,20 0,40 0,40

Ожидаемая доходность (а %)

20 10 5

Соке собирается создать арбитражный портфель путем увеличения количества ценной бумаги А на 0,20. (Указание: помните, что Хд должен равняться Х - Х.)

я. Чему должны равняться доли двух других ценных бумаг в арбитражном портфеле Сокса?

б.Какова ожидаемая доходность арбитражного портфеля?

в.Если все будут следовать решениям Сокса о покупке и продаже, то как это скажется на курсах трех данных бумаг?

6.Предположим, что доходности ценных бумаг задаются однофакторной моделью. Хэп Морз держит портфель, включающий ценные бумаги, имеющие следующие характеристики:

ЦеннаяЧувстви-ДоляОжидаемая

бумагательностьдоходность

к фактору(в %)

А0,600,4012

В0,300,3015

С1,200,308

Укажите арбитражный портфель, в который может инвестировать Хэп. (Помните, что существует бесконечное число возможностей, выберите одну.) Докажите, что указанный вами портфель удовлетворяет условиям арбитражного портфеля.

7.Почему дисперсия хорошо диверсифицированного арбитражного портфеля должна быть малой?

8.Почему арбитражная концепция является центральной для механизма ценообразования в АРП

9.Исходя из однофакторной модели, акция Wyeville Labs имеет чувствительность 3. Если безрисковая ставка равна 5%, а премия за факторный риск равна 7%, то какова ожидаемая доходность акции Wyeville в ситуации равновесия?

10.Почему в /IPT" соотношение равновесной доходности ценной бумаги и ее чувствительности к фактору является линейным?

И. Согласно однофакторной модели, два портфеля - Аи В - имеют равновесные ожидаемые доходности 9,8 и 11,0% соответственно. Если факторные чувствительности портфелей Аи В равны 0,80 и 1,00 соответственно, то чему равна безрисковая ставка?

12.Что такое чистый факторный портфель? Как может быть сконструирован такой портфель?

13.Основываясь на однофакторной модели, предположим, что безрисковая ставка равна 6% и ожидаемая доходность портфеля с единичной чувствительностью к фактору равна 8,5%. Рассмотрим портфель из двух ценных бумаг со следующими характеристиками:

ЦеннаяЧувстви-Доля

бумагательность

к фактору

А4,00,30

В2,60,70

Руководствуясь APT, определите, чему равна равновесная ожидаемая доходность портфеля.

14.Предположим, что доходности определяются факторной моделью, в которой задействованы два общеэкономических фактора. Чувствительности двух ценных бумаг и