о, = 18%; а,, = 25%; - 15%.

Вычислите стандартное отклонение для каждой ценной бумаги.

11.Если средний нефакторный риск (о.) всех ценных бумаг в однофакторной модели равняется 225, то каков нефакторный риск портфеля, который включает 10, 100 или 1000 ценных бумаг с равным весом?

12.Для заданного набора ценных бумаг, из которых можно составлять различные портфели, определите, исходя из обсуждения факторного и нефакторного риска, что могло бы послужить полезной мерой относительной диверсификации каждого из альтернативных портфелей?

13.Сколько параметров необходимо оценить для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения портфеля, содержащего 30 типов акций, в рамках пяти-факторной модели (предполагается, что факторы некоррелированы)? Сколько дополнительно требуется оценить параметров, если факторы коррелированы?

14.Приведите дополнительные факторы (сверх тех, что обсуждались в тексте), от которых можно было бы ожидать всеобъемлющего влияния на доходность ценных бумаг

15.В рамках трехфакторной модели рассмотрим портфель, состоящий из трех ценных бумаг со следующими характеристиками:

ЦеннаяЧувствительность Чувствительность Чувствительность Доля

бумагак фактору 1к фактору 2к фактору 3

А-0,203,600,050,60

В0,5010,000,750,20

С1,502,200,300,20

Каковы чувствительности портфеля к факторам 1, 2 и 3?

16.Специалист по количественному анализу ценных бумаг Смайлер Мюррей заметил: «Структура любой факторной модели имеет дело с неожиданностями, в частности, с природой корреляций неожиданностей в доходностях различных ценных бумаг». Что имел в виду Смайлер, говоря это?

17.Доуд Сикеро владеет портфелем, содержащим два вида ценных бумаг В рамках двухфакторной модели эти ценные бумаги имеют следующие характеристики:

Ценная Нулевой Чувствительность Чувствительность Нефакторн>1й Доля бумага фактор к фактору 1к фактору 2риск(о)

А2%0,302,01960,70

В30,501,81000,30

Факторы являются некоррелированными. Фактор 1 имеет ожидаемое значение 15% и стандартное отклонение 20%. Фактор 2 имеет ожидаемое значение 4% и стандартное отклонение 5%. Вычислите ожидаемое значение и стандартное отклонение для портфеля Доуда. [Подсказка: подумайте над тем, как с помощью уравнения (11.9) можно обобщить уравнение (11.6а) на случай двухфакторной модели.[

18.Сопоставьте три метода построения факторных моделей.

19.Рассмотрим факторную модель, в которой двумя факторами являются отнощение дохода к цене и отношение балансовой стоимости к рыночной цене. Для акций вида А первое отношение равно 10%, а второе 2. Для акций вида В эти показатели равны

Примечания

См. Приложение Б к гл. 8.

ВВП аналогичен валовому национальному продукту (ВНП) в том, что он является мерой полного объема произведенных в стране товаров и услуг. Однако ВВП несколько по-другому подходит к импорту и экспорту, чем ВНП, и как следствие, требует меньшего числа ревизий после своего первого опубликования. Кроме того, ВВП позволяет проводить международные сопоставления, так как большинство стран сообщает о ВВП вместо ВНП. Поэтому правительство США в настоящее время публикует только ВВП.

Для простоты на рисунке показаны только шесть точек. Стандартная статистическая процедура простой линейной регрессии обсуждается в гл. 17 и в статье: Mark Kritzman, «...About Regression*, Financial Analysts Journal, 47, no. 3 (May/June 1991), pp. 12-15. Она может быть найдена в большинстве книг по статистике, например в книге; James Т. McClave and P. George Benson, Statistics for Business and Economics (San Francisco: Dellen, 1991), Chapter 11.

* Иногда показатель 6 называют факторной нагрузкой (factor loading), или атрибутом ценной бумаги.

Временной индекс / был опущен в рыночной модели просто для облегчения изложения. С технической точки зрения член случайной ошибки следовало бы записать как е,,.

Более подробно это показано в Приложении Б к гл. 8.

На самом деле для уменьшения нефакторного риска необходимо лишь, чтобы максимальная сумма, инвестированная в каждую из ценных бумаг, непрерывно уменьшалась с ростом N. Соответствующий пример, основанный на рыночной модели, дан в гл. 8.

Эти значения были получены путем применения множественной регрессии (см.: McClave and Benson, Statistics, Chapter 12) к данным из табл. 11.1.

Предпринимались попытки выделить группы акций, или кластеры, такие, что акции внутри любой из групп обладают доходностями, которые более сильно коррелированы друг с другом, чем доходности акций из разных групп. См., например: Benjamin F. King, «Market and Industry Factors in Stock Price Behavior», Journal of Business, 39, no. 1 (January 1966): pp. 139-170; James L. Farrell, Jr, «Analyzing Covariation of Returns to Determine Stock Groupings*, Journal of Business, 47, no. 2 (April 1974), pp. 186-207; «Homogeneous Stock Grouping: Implications for Portfolio Management*, Financial Analysts Journal, 31, no. 3 (May/June 1975), pp. 50-62; and Robert D. Arnott, «Gluster Analysis and Stock Price Comovement», Financial Analysts Journal, 36, no. 6 (November/December 1980), pp. 56-62.

"Другой пример подобной модели дает обобщение рыночной модели, включающее сектор-факторы, где сектора выбраны таким образом, чтобы представлять отрасли промышленности. При этом акции любого типа имеют две чувствительности, характеризующие их отклик на доходности по индексу рынка и по индексу отрасли, к которой данные акции относятся. См.; Gordon J. Alexander and Jack Francis, Portfolio Analysis (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hail), pp. 83-92.

соответственно 15% и 0,90. Нулевые факторы для акций А и 5 равны 7 и 9% соответственно. Чему равны ожидаемые значения указанных факторов, если ожидаемые доходности для акций А и В равны 18 и 16,5% соответственно?

20.В рамках двухфакторной модели рассмотрим два типа ценных бумаг со следующими характеристиками:

ХарактеристикаЦенная бумага аЦенная бумага в

Чувствительность к фактору 11,50,7

Чувствительность к фактору 22,61,2

Нефакторный риск (а)25,016,0

Стандартные отклонения факторов 1 и 2 равны 20 и 15% соответственно, а ковариация факторов равна 225. Каковы стандартные отклонения для ценных бумаг >1 и В? Чему равна их ковариация?

21.Согласуются ли факторные модели с моделью САРШ Какие соотнощения должны существовать между этими двумя моделями в ситуации, когда доходности определены по однофакторной модели, в которой фактором является доходность рыночного портфеля, и применима также модель САРШ

" Рассмотренные ранее в данной главе примеры являются примерами применения этого метода.

Eugene F. Fama and Kenneth R. French, «Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds*, Journal of Financial Economics, 33, no. 1 (February 1993), pp. 3-56. Другие примеры применения метода временных рядов даны в гл. 12.

" Оказалось, что спекулятивные облигации также связаны с этими тремя факторами для акций.

Интересно отметить, что Фама и Френч обнаружили также связь между рыночным фактором (/•д, - гЛ и этими двумя факторами для облигаций. В свете этой связи они построили скорректированный рыночный фактор, который в основном состоял из рыночного фактора за вычетом влияния двух факторов для облигаций и еще двух других факторов для акций. В результате они показали, что доходности акций связаны с пятью факторами: скорректированным рыночным фактором SML, HML, TERM и DEF. При этом доходности облигаций по-прежнему остались связанными только с двумя факторами для облигаций.

" Отметим, что в методе временных рядов чувствительность ценной бумаги к фактору является ее атрибутом, а фактор - заданной макроэкономической переменной. Следовательно, значение атрибута неизвестно и должно быть оценено, тогда как значение фактора известно. В методе пространственной выборки в качестве атрибута ценной бумаги обычно выбирается какая-нибудь микроэкономическая переменная, измеряющая чувствительность ценной бумаги к фактору (примерами таких атрибутов являются дивидендная доходность акций и рыночная капитализация). Поэтому значение атрибута известно, а фактор неизвестен и должен быть оценен.

" Размер капитализации также был использован в качестве фактора в методе временных рядов, но несколько другим образом. См. работу Фама и Френча, упомянутую в пункте 12.

" William F. Sharpe, «Factors in New York Stock Exchange Security Returns, 1931-1979», Journal of Portfolio Management, 8, no. 4 (Summer 1982), pp. 5-19. Применение метода рассмотрено в работе: Blake R. Grossman and William F. Shaфe, «Financial Implications of South African Divestment*, Financial Analysts Journal, 42, no. 4 (July-August 1986), pp. 15-29.

* В одной работе было обнаружено, что факторы, которые, по-видимому, объясняют доходности ценных бумаг по четным дням, не могут объяснить доходности по нечетным дням. См.: Dolores А. Conway and Marc R. Reinganum, «Stable Factors in Security Returns: Identification Using Cross Validation*, Journal of Business and Economic Statistics, 6, no. 1 (January 1988), pp. 1-15.

" Временные индексы были опущены для простоты изложения.

" Если фактором в однофакторной модели является доходность рыночного портфеля (как показано здесь), то для любой ценной бумаги случайная ошибка технически не может быть полностью некоррелирована с фактором. Это объясняется тем, что рыночный портфель состоит из всех ценных бумаг и, следовательно, испытывает влияние всех нефакторных доходностей. См.: Eugene F. Fama, Foundations of Finance (New York: Basic Books, 1976), Chapter 3.

Ключевые термины

процесс формирования дохода факторные модели чувствител ьности факторная нагрузка (атрибут)

факторный риск нефакторный риск отраслевая факторная модель атрибутивные чувствительности

Рекомендуемая литература

1. Общее обсуждение факторных моделей можно найти в работах:

William F. ЗЬафе, «Factors in New York Stock Exchange Security Returns, 1931-1979», Journal of Portfolio Management, 8, no. 4 (Summer 1982), pp. 5-19; and «Factor Models, CAPMs, and the ABT [5/c]*, Journal of Portfolio Management, 11, no. 1 (Fall 1984), pp. 21-25. Mark Kritzman, «... About Factor Models*, Financial Analysts Journal, 49, no. 1 (January/ February 1993), pp. 12-15.