пользуются для получения оценок чувствительности ценных бумаг. Такие факторы называются фундаментальными (fundamental).

Фактическая доходность по любой данной ценной бумаге может лежать выше или ниже прямой линии благодаря нефакторному компоненту доходности. Поэтому полное описание соотношений факторов в рассматриваемой однофакторной модели дается уравнением:

/-.,= 4+ 0,56., +е.,,(11.22)

где е., обозначает нефакторную доходность ценной бумаги / во временном интервале t. На рис. 11.3 ценная бумага имела ставку дивиденда 6%. Поэтому согласно уравнению (11.18) она имела в этот период ожидаемую доходность, равную 7% (4 + 0,5 х 6). Поскольку ее фактическая доходность равнялась 9%, то ее нефакторная доходность составила +2% (9% - 7%).

В периоды, подобные тому, что рассмотрен на рис. 11.3, акции с высокой ставкой дивиденда приносят больший доход, чем акции с низкой ставкой дивиденда. Это указывает на положительность фактора «ставка дивиденда» в этом временном интервале. Однако в другом временном интервале акции с низкой ставкой дивиденда могут дать большую доходность, чем акции с высокой ставкой дивиденда. Прямая регрессии на соответствующей диаграмме шла бы вниз, и фактор ставки дивиденда был бы отрицательным. Кроме того, в некоторых временных интервалах связь между ставкой дивиденда и обычной доходностью может вообще отсутствовать. В этом случае прямая регрессии горизонтальна, а фактор ставки дивиденда равен нулю.

Двухфакторные годели

В некоторые периоды времени акции с низкой капитализацией в основном имеют большую доходность, чем акции с высокой капитализацией. В другие периоды может быть верно обратное. Поэтому многие модели в методе пространственной выборки используют показатель размера (size attribute), который часто определяется как логарифм полной рыночной стоимости размещенных фирмой ценных бумаг, измеренный в миллионах долларов. Эта стоимость, в свою очередь, вычисляется путем умножения курса акции на общее количество размещенных акций и путем деления полученного результата на 1 млн."" То есть пакету акций стоимостью в $1 млн. соответствует показатель размера капитализации, равный нулю, пакету в $10 млн. - значение, равное 1, пакету в $100 млн. - значение 2 и тд. Это правило основано на эмпирическом наблюдении, согласно которому влияние показателя размера на ценную бумагу с большой рыночной стоимостью оказывается примерно в два раза более сильным, чем на ценную бумагу, рыночная стоимость которой в десять раз меньше. Более сжато, эффект размера является линейно-графическим (linear in the logarithms).

Для того чтобы оценить фактор размера в данном месяце, можно воспользоваться процедурой, примененной при построении рис. 11.3 для оценки фактора дивиденда. Показатели размера капитализации ценных бумаг можно отложить по горизонтальной оси, а их доходности в данном временном периоде - по вертикальной оси (как на рис. 11.3). Наклон полученной в результате прямой линии регрессии дает оценку показателя размера капитализации в данном периоде времени.

Однако эта процедура обладает недостатками. Акции с большим размером капитализации обычно имеют более высокую ставку дивиденда. Поэтому разность в доходности между акциями с большим и малым размером капитализации может быть частично связана не только с разницей в размере капитализации, но и с разницей в ставке дивиденда. Оцененный показатель размера капитализации может частично отражать влияние фактора истинной ставки дивиденда. Проблема симметрична в том смысле, что оцененный фактор ставки дивиденда может также частично учитывать показатель истинного размера капитализации.

Эту проблему можно частично разрешить, сравнивая доходности с показателями размера капитализации и ставкой дивиденда одновременно и используя статистический метод множественной регрессии. Это проиллюстрировано на рис. 11.4. Каждая ценная бумага представлена точкой на трехмерной диаграмме. При этом доходность в рассматриваемом периоде времени отложена по вертикальной оси, ставка дивиденда в этом же периоде - по одной из нижних осей, а размер капитализации - по другой.

Приближение данных с помощью плоскости обычно производится методом множественной регрессии. Для примера из рис. 11.4 это дает следующее уравнение регрессии:

/-,= 7 + 0,46,,-0,36,,+е.,.

(11.23)

где 6.,, и 6д, обозначают соответственно ставку дивиденда и размер капитализации акций типа / в период времени t. В общем виде уравнение регрессии для двухфакторной модели записывается следующим образом:

(11.24)

где а обозначает нулевой фактор в период времени t, а два фактора обозначены как F

размера капитализации

g Ставка дивиденда

Рис. 11.4. Двухфакторная модель в методе пространственной выборки Плоскость, показанная на рис. 11.4, описывается уравнением:

7.,= 7+ 0,46,.,,-0,36,,,(11.25)

или в общем случае:

-,,=,+ *лЛ+*.Л-(11-26)

Это означает, что нулевой фактор а равен 7%, те. от акции с нулевой ставкой дивиденда и нулевым размером капитализации (с рыночной стоимостью в $1 млн.) можно было бы ожидать доходности 7%. Заметим, что оценки для значений фактора ставки дивиденда (£,) и фактора размера капитализации (Р,) составляют 0,4 и -0,3 соответственно. Таким образом, в рассматриваемый период времени и высокая ставка дивиденда, и малый размер капитализации ассоциировались с большей доходностью.

Согласно уравнениям (11.23) и (11.25), следует ожидать, что некоторая ценная бумага Хс дивидендной доходностью 6% и размером капитализации 3 будет иметь доходность 8,5% (7 + 0,4 X 6 - 0,3 X 3). Таким образом, при фактической доходности 9% нефакторная доходность за рассматриваемый период (е.,) равна +0,5% (9% - 8,5%), как показано на рис. 11.4.

Учет размера капитализации и ставки дивиденда в совокупности с использованием метода множественной регрессии может помочь разделить влияние разности в величине ставки дивиденда и в размере капитализации на доходность ценных бумаг При этом невозможно адекватно оценить те влияния, которые не были представлены вовсе. Также невозможно гарантировать, что включенные в рассмотрение показатели не являются просто подменой более фундаментальных показателей. Статистические тесты могут указывать на то, что переменные, включенные в анализ, способны объяснить или предсказать доходность ценных бумаг в прошлом. Однако для установления переменных, которые могли бы помочь предсказать доходность ценных бумаг, риски и ковариации в будущем, требуются здравый смысл и удача. Обобщение рассмотренных выше примеров на случай более двух переменных непосредственно следует из уравнений с (11.23) по (11.26).

Пример

Шарп провел исследование, использующее метод пространственной выборки, для того чтобы установить факторы, объясняющие изменения доходности акций". В его работе доходности акций ежемесячно были увязаны с пятью чувствительностями ценных бумаг (и восемью сектор-факторами), которые измерялись для каждой разновидности акций. К этим чувствительностям относились размер фирмы (измеренный согласно Фаме и Френчу), коэффициент «бета» за прошлые годы, измеренный относительно индекса рынка акций, ставка дивиденда, коэффициент «бета» за прошлые годы, измеренный относительно индекса рынка облигаций, а некоторая часть доходности акций за прошлые годы может быть отнесена на счет ее неправильной оценки.

Шарп собрал ежемесячные данные по более чем 2000 типов обыкновенных акций за период с 1931 по 1979 г. Среди прочих результатов в его анализе была получена величина фактора ставки дивиденда, равная 0,237 (в пересчете на годовой период). Отсюда следует, что акции со ставкой дивиденда 5% имели годовую доходность почти на 0,24% больше, чем акции со ставкой дивиденда 4% (при сходной подверженности влиянию всех других факторов).

тт.4.3 Факторный анализ

В рамках факторно-аналитического метода построения факторной модели неизвестны ни значения факторов, ни чувствительности ценных бумаг к этим факторам. Для определения числа факторов и чувствительностей к данным о доходностях ценных бумаг в прошлом просто применяется статистический метод, называемый факторным анализом (factor analysis). При использовании этого метода доходности некоторой выборки ценных бумаг рассматриваются за большое число временных периодов в целях установления одного или нескольких статистически значимых факторов, которые могли бы привести к ковариации доходностей, наблюдаемых в этой выборке. По сути дела, в этом