назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76]


13

Ожидаемая доходность

С помощью этих оценок ожидаемая доходность любой ценной бумаги / может быть вычислена по следующей формуле:

~r, = a. + b~F,+b~F,.(11.8)

Например, ожидаемая доходность акций Widget рата 8,9% (5,8% + 2,2 х 3% - 0,7 х 5%) при условии, что ожидаемое увеличение ВВП и инфляция равны 3 и 5% соответственно.

Цисг\ерсия

Согласно двухфакторной модели, дисперсия любой ценной бумаги / равна:

Ь] = ЬУ + ЬУ + 2b,b, COV(F, ,F,) + oj,.(И.9)

Если в рассматриваемом примере дисперсии первого ( ) " второго (Од) факторов равны 3 и 2,9 соответственно, а их ковариация [COV (F, F)] равна 0,65, то дисперсия акций IWc/gef составит 32,1 [(2,2 х 3) + (-0,7- х 2,9) + (2 х 2,2 х (-0,7) х 0,65) + 18,2], поскольку их чувствительности и дисперсия случайной ошибки равны 2,2, -0,7 и 18,2 соответственно.

Ковариация

Аналогично, согласно двухфакторной модели, ковариация любых двух ценных бумаг / и у определяется следующей формулой:

<о=ЛЛ+а>А+(Ь,Ь,, +b,b,) COV(F,,F,).(11.10)

Продолжая рассматривать все тот же пример, получаем, что ковариация акций компаний Widget и Whatever равна 39,9 {(2,2 х 6 х 3) + (-0,7 х (-5) х 2,9) + [2,2 х (-5)] + + (-0,7) X 6)] X 0,65}, так как чувствительности акций Whatever к д.ъум факторам равны 6 и -5 соответственно.

«Касательный» портфель

Как и в случае однофакторной модели, после того, как ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации рассчитаны с помощью приведенных выше уравнений, инвестор может перейти к использованию «оптимизатора» (optimizer) (особого вида математической процедуры) для получения кривой эффективного множества Марковица. Затем для данной безрисковой ставки может быть определен «касательный» портфель, после чего инвестор может выбрать свой оптимальный портфель.

Диверсификация

Все сказанное ранее относительно однофакторных моделей применимо и в случае диверсификации.

1.Диверсификация приводит к усреднению факторного риска.

2.Диверсификация может существенно уменьшить нефакторный риск.

3.Для хорошо диверсифицированного портфеля нефакторный риск будет незначительным.

Как и в однофакторной модели, чувствительность портфеля к конкретному фактору в многофакторной модели является взвешенным средним чувствительностей ценных бумаг, причем веса равны долям, в которых средства инвестированы в ценные бумаги. Это



можно увидеть, если вспомнить, что доходность портфеля равна взвешенной средней доходностей составляющих его ценных бумаг:

;= 1

(11.11)

Подстановка правой части уравнения (11.7) вместо г, в правой части уравнения (11.11) дает:

(•= 1

(= 1

(11.12)

Заметим, что чувствительности портфеля Ь и Ь являются взвешенными средними соответствующих индивидуальных чувствительностей b. и Ь..

11.3.2 Отраслевые факторные модели

Курсы ценных бумаг, относящихся к одной и той же отрасли экономики, часто меняются сходным образом в ответ на изменения перспектив этого сектора. Некоторые инвесторы принимают это во внимание, применяя специальный тип многофакторной модели, известный как отраслевая факторная модель (sector-factor model). Чтобы построить отраслевую факторную модель, следует каждую из рассматриваемых ценных бумаг отнести к некоторому сектору экономики. В случае двухсекторной факторной модели каждая ценная бумага должна быть отнесена к одному из двух секторов.

Например, пусть сектор 1 состоит из промышленных компаний, а сектор 2 - из непромышленных компаний (коммунальное хозяйство, транспорт, финансовые компании). При этом можно считать, что и F представляют доходности по индексам промышлен-



ных и непромышленных акций соответственно. (Например, они могли бы быть компонентами индекса S&P 500.) Следует, однако, иметь в виду что как число секторов, так и состав каждого сектора - это открытый вопрос, который остается на усмотрение инвестора.

В двухсекторной факторной модели процесс формирования дохода по ценным бумагам имеет тот же общий вид, что и в двухфакторной модели, описываемой уравнением (11.7). Но в двухсекторной факторной модели и F, теперь обозначают сектор-факторы 1 и 2 соответственно. Далее, любая конкретная ценная бумага принадлежит к одному из секторов, 1 или 2, но не к обоим. По определению, чувствительность ценной бумаги к фактору того сектора, к которому эта ценная бумага не относится, принимается равной нулю. Это означает, что либо либо 6. равно нулю в зависимости от того, к какому из секторов ценная бумага / не относится. Величина других коэффициентов чувствительности нуждается в оценке. (В целях простоты ему иногда приписывается значение 1.)

В качестве иллюстрации рассмотрим компании General Motors (GM) и Delta Airlines (DAL). Двухсекторная факторная модель для GM (временной индекс t опущен для простоты изложения) представлена уравнением:

Однако из-за того, что ОЛ/как промышленная компания принадлежит к сектору 1, коэффициенту б приписывается нулевое значение. После этого уравнение (11.13) сводится к уравнению:

шА + «ш/-(11-14)

Итак, в двухсекторной факторной модели для GM необходимо оценить только значения flgjj, бдд,, и о,. Для сравнения отметим, что в двухфакторной модели необходимо оценить значения а, 6.,, Ь и о.

Аналогично, поскольку DAL принадлежит к непромышленному сектору двухсекторная факторная модель для нее имеет вид:

/Ш. = «/М/. + 1ПА,Л + IPAUI + „АГ (11-15)

что сводится к уравнению:

DAL=«DAL + *DAL2-f2 + DAL.(11-16)

так как 6, приписывается нулевое значение. В итоге в двухсекторной факторной модели нужно оценить только значения а, Ь и од.

В общем, в то время как в двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра (а., Ь., Ь. и а.), в двухсекторной факторной модели нужно оценить лишь три параметра (а., о. и либо 6.,, либо Ь.). Имея эти оценки вместе с оценками для F, F, a.j и а, инвестор может применить уравнения (11.8) и (11.9) для расчета ожидаемых доходностей и дисперсий для каждой ценной бумаги. Парные ковариации могут быть оценены с помощью уравнения (11.10). Это даст инвестору возможность определить кривую эффективного множества Марковица, а затем «касательный» портфель для заданной безрисковой ставки.

11.3.3 Обобщение моделей

Для обобщения модели при наличии более двух факторов придется отказаться от диаграмм, поскольку обсуждение выходит за рамки трех параметров. Тем не менее все понятия остаются прежними. Для случая к факторов многофакторная модель может быть записана в следующем виде:

-/, = «, + *IU+*-22, + - + №+,-,(11-17)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76]