назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76]


11

2,0 3,0 4,0 2,9% = ВВПб

Рис. 11.1. Однофакторная модель

11.2.1 Пример

Горизонтальная ось на рис. 11.1 соответствует предсказанному темпу прироста ВВП, а вертикальная ось - доходности акций компании Widget. Каждая звездочка на графике представляет собой комбинацию доходности акций Widget и темпа прироста ВВП для соответствующего года согласно табл. 11.1. С помощью метода простой регрессии данные были аппроксимированы прямой линией. (Слово простой означает, что в правой части уравнения имеется лищь одна переменная, в этом случае - ВВП.) Эта прямая имеет положительный наклон, равный двум, что указывает на существование положительной связи между скоростью прироста ВВП и доходностью по акциям компании Widget. Более высокие темпы прироста ВВП соответствуют более высоким доходностям.

Связь между предсказанным темпом прироста ВВП и доходностью акций компании Widget может быть выражена в виде уравнения:

г, = а + 6ВВП, + е,

(11.1)

где- доходность акций за период /;

ВВП - предсказанный темп прироста ВВП за пщгиод п

уникальная, или специфическая, доходность за период t,

Ь - чуеемттетптть (sensitivity) к предсказанному темпу

прироста ВВП"; а - нулевой фактор для ВВП.

На рис. 11.1 нулевой фактор равен 4% за период. Это доходность, которая ожидалась бы для акций Widget, если бы предсказанный темп прироста ВВП равнялся нулю. Чувствительность акций Widget к предсказанному темпу прироста ВВП (Ь) равна двум.



что совпадаете наклоном прямой линии на рис. 11.1. Это значение указывает на то, что более высокий предсказанный прирост ВВП ассоциируется с более высокой доходностью акций Widget. Если предсказанный прирост ВВП равен 5%, то акции Widget л&лут доходность 14% (4% + 2 х 5%). Если предсказанный прирост ВВП будет на 1% больше, т.е. составит 6%, то доходность должна быть на 2% больше, т.е. равняется 16%.

В этом примере предсказанный прирост ВВП за шестой год был равен 2,9%, а фактическая доходность акций Widget составила 13%. Следовательно, уникальная доходность акций Widget (обозначенная е) в этом конкретном году была равна 3,2%. Это число было получено путем вычитания величины ожидаемой доходности, соответствующей предсказанному приросту ВВП в 2,9%, из фактической доходности, равной 13%. В этом случае ожидаемая доходность акций Widget составила бы 9,8% (4 -(- 2 х 2,9%). Тем самым специфическая доходность получается равной +3,2% (13% - 9,8%).

В итоге однофакторная модель, представленная рис. 11.1 и уравнением (11.1), отражает доходность акций Widget за любой конкретный период в виде суммы трех элементов:

1.Элемент, одинаковый для всех периодов (член а).

2.Элемент, который меняется от периода к периоду и зависит от предсказанного темпа прироста ВВП (член ЬВВПр.

3.Элемент, специфический для конкретного рассматриваемого периода (член е,).

11.2.2 Обобщение примера

Этот пример однофакторной модели может быть обобщен в виде уравнения для любой ценной бумаги / в период времени /:

г, = + Ь/, + е,,(11.2)

где F - предсказанное значение фактора в период t, а Ь. - чувствительность ценной бумаги / к этому фактору Если бы предсказанное значение фактора равнялось нулю, то доходность этой ценной бумаги составила бы а.+ е.. Заметим, что е. - это случайная ошибка, совершенно аналогичная той, котораяобсуждалась в гл. 8, те. это случайная переменная с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением Можно считать, что она определяется «вращением колеса рулетки».

OxHflaet\/iaH доходность

Согласно однофакторной модели, ожидаемая доходность ценной бумаги / может быть записана в виде:

7-, = a, + 6,.F,(11.3)

где F обозначает ожидаемое значение фактора.

Это уравнение можно использовать для оценки ожидаемой доходности ценной бумаги. Например, если ожидаемый темп прироста ВВП равен 3%, то ожидаемая доходность акций Widget равна 10% (4% + 2x3%).

Дисперсия

В однофакторной модели можно также показать, что дисперсия любой ценной бумаги / равняется:

<7=ь;4+о;,,(11.4)

где - а} дисперсия фактора F, а а]. - дисперсия случайной ошибки. Таким образом, если дисперсия фактора равняется 3, а остаточная дисперсия - 15,2, то, согласно этому уравнению, дисперсия акций Widget равняется:

а= (2х 3) + 15,2 = 27,2.



Ковариация

В однофакторной модели можно показать, что ковариация любых двух ценных бумаг / и j равняется:

a.. = bb.al.(11.5)

В примере с акциями Widget уравнение (11.5) может быть использовано для оценки ковариации этих акций и другой гипотетической ценной бумаги, например, акций компании Whatever. Предположив, что фактор чувствительности акций Whatever равен 4,0, ковариация акций Widget и Whatever равна:

О, = 2 X 4 X 3 = 24.

Предположения

Уравнения (11.4) и (11.5) основаны на двух важных предположениях. Во-первых, предполагается отсутствие корреляции случайной ошибки и фактора. Это означает, что величина фактора совсем не влияет на величину случайной ошибки.

Во-вторых, предполагается отсутствие корреляции случайных ошибок любых двух ценных бумаг Это означает, что величина случайной ошибки одной ценной бумаги совсем не влияет на величину случайной ошибки любой другой ценной бумаги. Другими словами, доходности двух ценных бумаг будут коррелированы, т.е. будут меняться согласованно, только вследствие общей зависимости от изменения фактора. Если какое-либо из этих предположений не выполняется, то модель является лишь приближенной и другая факторная модель (быть может, с большим числом факторов) теоретически может быть более точной моделью формирования дохода.

11.2.3Рыночная модель

Теперь покажем, что рыночная модель является конкретным примером однофакторной модели, в которой фактором служит доходность по рыночному индексу В гл. 8 рыночная модель была записана следующим образом:

Сравнение уравнения (8.3) с общим видом однофакторной модели в уравнении (11.2) показывает их очевидное сходство. Смещение из уравнения рыночной модели соответствует значению нулевого фактора в уравнении (11.2). Далее, наклон в рыночной модели аналогичен чувствительности в обобщенной однофакторной модели. Каждое уравнение - и факторной модели, и рыночной модели - включает случайную ошибку Наконец, доходность по рыночному индексу играет роль единственного фактора.

Однако, как отмечено ранее, идея однофакторной модели не ограничивает инвестора использованием только рыночного индекса в качестве фактора. Могут быть использованы многие другие факторы, такие, как предсказанный ВВП или объем промышленной продукции.

11.2.4Два важных свойства однофакторных моделей

Особый интерес представляют два свойства однофакторных моделей. «Касательный» портфель

Во-первых, предположение о том, что доходности всех ценных бумаг реагируют на единственный общий фактор, значительно упрощает задачу определения «касательного» портфеля. Для определения его состава инвестор должен оценить все ожидаемые

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76]