Рис. 9.9. Оценка различных безрисковых ставок

Рис. 9.10. Эффективное множество при неравных безрисковых ставках

Приложение Б

Определение структуры «касательного» портфеля Т

«Угловые» портфели и портфель Т

При обобщении модели Марковица с учетом безрисковых возможностей эффективное множество становится прямой линией, проходящей через точку, соответствующую портфелю Т. Этот портфель называется «касательным» портфелем, поскольку он соответствует точке, в которой прямая, исходящая из точки безрисковой ставки, касается эффективного множества Марковица.

Определение структуры портфеля Г (а следовательно, и его расположения) требует тех же процедур, которые были представлены в Приложении А гл. 8. В примере, изображенном на рис. 9.7, портфель Т располагался на эффективном множестве модели Марковица. На рис. 8.13 этот портфель лежит между вторым и третьим «угловыми» портфелями, обозначенными С(2) и С(3) соответственно. Так как Глежит между этими двумя «угловыми» портфелями, то его структура является взвешенным средним структур С(2) и С(3), которые показаны в табл. 8.1. Эти веса [0,86 для С(2) и 0,14 для С(3)] могут быть определены графически путем проведения горизонтальной линии от точки Г до вертикальной оси, по которой измеряется ожидаемая доходность.

В данном примере ожидаемая доходность портфеля Т равна 22,4%. Так как Т располагается между С(2) и С(3), то его ожидаемая доходность должна равняться взвешенной средней ожидаемых доходностей С(2) и С(3). Таким образом, структура в терминах С(2) и С(3) может быть определена при помощи уравнения (8.13) при = 22,4%, 7" = 23,20% и 7* = 17,26%:

22,4% = (23,20% хУ)+ [17,26% х (1 - У)].

В-четвертых, поскольку инвестор не может предоставить заем по ставке г, то часть линии, выходящей из г, которая располагается левее Г,, недоступна для инвестора и поэтому также не рассматривается. Северо-западная граница множества оставщихся в рассмотрении портфелей, показанного на рис. 9.10, является результирующим эффективным множеством.

Это множество состоит из трех различных, но соединенных между собой частей. Первой частью является прямой отрезок, соединяющий Гд и Т, который представляет собой комбинации различных объемов безрискового кредитования в сочетании с инвестированием в портфель рискованных активов Г. Второй частью является участок кривой из эффективного множества Марковица, соединяющий точки и Т. Третьей частью является прямой луч, выходящий из точки 7j, который представляет различные комбинации заимствования в сочетании с инвестированием в рискованный портфель Т.

Оптимальным портфелем для инвестора, как и прежде, будет портфель, который соответствует точке касания кривой безразличия инвестора с эффективным множеством. В зависимости от вида кривых безразличия, точка касания может оказаться на любом из трех сегментов, составляющих эффективное множество.

Решением этого уравнения является Y= 0,86. Это означает, что портфель Г состоит из С(2) и С(3) в пропорциях 0,86 и 0,14 соответственно.

В терминах величин инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie это означает:

[0,86 X Х{2)] + [0,14 X ДЗ)] = 0,86 х

То есть портфель Гсостоит из 12% инвестиций в акции компании Able, 19% - в акции Baker и 69% - в акции Charlie.

Рыночная модель и портфель Т

Имеется и другой метод определения структуры портфеля Т, который не требует определения «угловых» портфелей и, следовательно, является более простым, чем только что описанный. (Все, что требуется для применения этого метода, - это знание электронных таблиц.) Предполагается, что доходности ценной бумаги могут быть описаны рыночной моделью, а также, что существует возможность безрискового заимствования и кредитования по ставке г Метод, разработанный Элтоном, Грубером и Падбергом (Elton, Gruber, Padberg), далее называемый EGP, можно объяснить на примере".

Представьте, что инвестор хочет найти «касательный» портфель Т, связанный со следующими 10 ценными бумагами:

Номер ценнойОжидаемая«Бета»

бумаги/доходность С;) (в %) ((3/)

Несистематический риск (q\.)

Далее предположим, что дисперсия портфеля рыночного индекса а/ равна 10, а безрисковая ставка г равна 5%.

Алгоритм EGP начинается с замечания, что наклон линии, выходящей из точки г и проходящей через любой конкретный портфель (р), равен (G):

(9.1)

«Касательный» портфель /"определяется как имеющий максимальную тхэту (G). Для поиска портфеля, имеющего максимальную G, применяется следующий пятишаго-вый алгоритм: