феля из эффективного множества. При анализе сначала определяется ожидаемая доходность и стандартное отклонение для портфеля, состоящего из инвестиции в безрисковый актив в сочетании с одной рискованной ценной бумагой.

3.2.1 Одновременное инвестирование в безрисковый и рискованный активы

В гл. 7 рассматривались компании Able, Baker и Charlie со следующими ожидаемыми доходностями, дисперсиями и ковариациями, записанными в форме вектора ожидаемой доходности и ковариационной матрицы:

Определив безрисковый актив как ценную бумагу с номером 4, рассмотрим все портфели, состоящие из инвестиций только в акции компании Able и в безрисковый актив. Пусть обозначает часть средств инвестора, вложенную в акции компании Able, и Х = I - Х обозначает долю, инвестированную в безрисковый актив. Если инвестор вкладывает все деньги в безрисковый актив, то J, = О и ЛГ, = 1. Аналогично, если инвестор вкладывает все деньги в акции компании Able, то Х= I а Х= 0. Возможна, например, комбинация 0,25 в акции Able и 0,75 в безрисковый актив, а также другие комбинации: 0,50 и 0,50 или 0,75 и 0,25 соответственно. Хотя существует множество других возможных портфелей, рассмотрим эти пять комбинаций:

0,00 1,00

0,25 0,75

Портфели С

0,50 0,50

0,75 0,25

1,00 0,00

Если предположить, что безрисковый актив имеет ставку доходности (/-р, равную 4%, то мы будем иметь всю необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей и стандартных отклонений этих портфелей. Для вычисления ожидаемых доходностей может быть использовано уравнение (7.3а) из гл. 7:

4 (7.3а)

/= I

Портфели А, В, С, D и Е не включают инвестиций во вторую и третью ценные бумаги (те. в акции компаний Baker и Charlie). Это означает, что для этих портфелей = О и Х = 0. В этом случае предыдущее уравнение сводится к следующему:

г р = X] г \ + Х г 4 =

= {Х, X 16,2%)+(.Yx. где ставка доходности по безрисковому активу обозначается через г.

Для портфелей .4 и £ это вычисление тривиально, так как все средства инвестора помещаются только в одну ценную бумагу Поэтому их ожидаемые доходности равны 4 и 16,2% соответственно. Для портфелей В, С и D ожидаемые доходности равны соответственно:

г в = (0,25 X 16,2%) + (0,75 х 4%) =

= 7,05%; / с = (0,50 X 16,2%) + (0,50 X 4%) =

= 10,10%;

7 д = (0,75 X 16,2%) + (0,25 X 4%) = = 13,15%-

Стандартные отклонения портфелей А и £ являются просто стандартными отклонени-

ями безрискового актива и акций Able соответственно. То есть 0= 0% и 0=12,С Для вычисления стандартных отклонений портфелей В, С к Z) должно быть использовано уравнение (7.7) из гл. 7:

/- 1 у= I

(7.7)

4 411/2

/= 1 j= 1

Так как для этих портфелей = О и = О, то это уравнение сводится к виду:

,,,+,4,4+v,%+w44

1/2 =

Поскольку ценная бумага под номером 4 является безрисковой и поэтому, по определению, 0 = О и 0, = О, возможно дальнейшее упрощение. В соответствии с этим получаем:

1/2

х}хт

1/2

= Х,х 12,08%.

Таким образом, стандартные отклонения портфелей В, С а D равны:

ст= 0,25 X 12,С

= 3,02%; ст= 0,50х 12,С

= 6,04%; ст„ = 0,75 X 12,08% =

= 9,06%.

Подытоживая, можно сказать, что пять портфелей имеют следующие ожидаемые доходности и стандартные отклонения:

Портфель

А В С D Е

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

Ожидаемая доходность (в %)

1,004,00

0,757,05

0,5010,10

0,2513,15

0,0016,20

Стандартное отклонение (в %)

0,00 3,02 6,04 9,06 12,08

Эти портфели изображены на рис. 9.1. Из рисунка видно, что все они лежат на прямой линии, соединяющей точки, соответствующие безрисковому активу и акциям компании Able. Хотя было рассмотрено только пять конкретных комбинаций безрискового актива и акций Able, можно показать, что любая подобная комбинация будет лежать на этой прямой линии. Точное положение этой точки будет зависеть от пропорции инвестиций в эти два актива. Далее, это наблюдение может быть обобщено на основе комбинации безрискового актива и любого рискованного актива. Это означает, что любой портфель, состоящий из комбинации безрискового и рискованного активов, будет иметь ожидаемую доходность и стандартное отклонение, которые лежат на одной прямой, соединяющей точки, соответствующие этим активам.

Рис. 9.1. Сочетание безрискового кредитования с инвестированием в рискованный актив

9.2.2 Одновременное инвестирование в безрисковый актив и в рискованный портфель

Теперь рассмотрим, что происходит, когда по{зтфель, состоящий из более чем одной рискованной ценной бумаги, объединяется с безрисковым активом. Например, рассмотрим рискованный портфель РАС, состоящий из акций Able и Charlie в долях 0,80