Harry М.Markowitz, <!<Portfolio Selection*, Journal of Finance, 1, no. 1 (March 1952), pp. 77-91.

Harry M. Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (New York: John Wiley, 1959).

2.Техника, используемая для определения местоположения эффективного множества и состава «угловых» портфелей, которые в нем располагаются, была изложена в работе:

Harry М. Markowitz, «The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints», Naval Research Logistic Quarterly, 3, nos. 1-2 (March-June 1956), pp. 111-133.

3.Рыночная модель, изначально упомянутая Марковицем в замечании к с. 100 его книги, была позднее рассмотрена в работе:

William F. Shaфe, «А Simplified Model for Portfolio Analysis*, Management Science, 9 no. 2 (January 1963), pp.

4.Детальное рассмотрение рыночной модели можно найти в гл. 3 и 4 следующей книги:

Eugene F. Fama, Foundations of Finance (New York: Basic Books, 1976).

5.Обсуждение того, как диверсификация снижает рыночный риск см. в работах: John L. Evans and Stephen Н. Archer, «Diversification and the Reduction of Dispersion: An Empirical Analysis*, Journal of Finance, 23, no. 5 (December 1968), pp. 761-767. WH. Wagner and S.C. Lau, «The Effect of Diversification on Risk», Financial Analysts Journal, 11, no. 6 (November-December 1971), pp. 48-53.

Meir Statman, «How Many Stocks Make a Diversified Portfolio?» Journal of Financial and Quantative Analysis, 11, no. 3 (September 1987), pp. 353-363.

Gerald D. Newbould and Percy S. Poon, «The Minimum Number of Stocks Needed for Diversification», Financial Practice and Education, 3, no. 2 (Fall 1993), pp. 85-87.

6.Обсуждение статистических проблем, связанных с разделением общего риска, можно найти в следующей работе:

Bert Stine and Dwayne Key, «Reconciling Degrees of Freedom When Partitioning Risk: A Teaching Note», Jornal of Financial Education, 19 (Fall 1990), pp. 19-22.

7.Некоторые статистические проблемы, связанные с применением оптимизационных методов в управлении портфелем (например, как справиться с оценочным риском), рассматриваются в следующих работах:

J.D. Jobson and Bob Korkie, «Putting Markowitz Theory to Work*, Journal of Portfolio Management, 7, no. 4 (Summer 1981), pp. 70-74.

Gordon J. Alexander and Jack Clark Francis, Portfolio Analysis (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1986), Chapter 6.

Peter A. Frost and James E. Savarino, «Portfolio Size and Estimation Risk*, Journal of Portfolio Management, 12, no. 4 (Summer 1986), pp. 60-64.

Peter A. Frost and James E. Savarino, «For Better Performance: Constrain Portfolio Weights»,

Journal of Portfolio Management, 15, no. 1 (Fall 1988), pp. 29-34.

Richard O. Michaud, «The Markowitz Optimization Enigma: Is «Optimized» Optimal?»,

Financial Analysts Journal, 45, no. 1 (January/February 1989), pp. 31-42.

Philippe Jorion, «Portfolio Optimization in Practice*, Financial Analysts Journal, 48, no. 1

(January/February 1922), pp. 68-74.

Vijay K. Chopra and William T. Ziemba, «The Effects of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice*, Journal of Portfolio Management, 19, no. 2 (Winter 1993), pp. 6-11.

Глава 9

Безрисковое предоставление и получение займов

Предыдущие две главы были посвящены вопросу выбора инвестиционного портфеля. Подход Марковица предполагает, что инвестор имеет некоторый начальный капитал (IV) для инвестиций на определенный срок. Из всех имеющихся портфелей оптимальным является тот, который соответствует точке касания кривой безразличия инвестора к эффективному множеству. В конце периода владения портфелем начальный капитал инвестора либо увеличивается, либо уменьшается в зависимости от ставки доходности портфеля. Капитал, образовавшийся в результате инвестирования (W,), может быть или полностью реинвестирован, или полностью истрачен на потребление, или частично реинвестирован и частично потреблен.

Подход Марковица предполагает, что активы, рассматриваемые для инвестиций, в отдельности являются рискованными, т.е. каждый из TV рискованных активов дает неопределенный доход за период владения. Поскольку никакой из активов не имеет соверщенно отрицательную корреляцию с любым другим активом, то все портфели также дают неопределенные доходы за период владения и, следовательно, являются рискованными. Более того, инвестору не позволяется использовать одолженные деньги вместе с начальным капиталом для покупки портфеля активов. Это означает, что инвестору не разрешается использовать финансовую поддержку или счет, находящийся у его брокера.

В этой главе подход Марковица к инвестициям обобщается. Во-первых, инвестору разрешается инвестировать не только в рискованные, но и в безрисковые активы. Это означает, что теперь имеется yv активов, доступных для инвестиций, включая (Л-1) рискованный актив и один безрисковый. Во-вторых, инвестору разрешается одалживать деньги при обязательных выплатах по определенной процентной ставке по взятым займам. Кроме того, рассматривается эффект от добавления безрискового актива к набору рискованных активов.

Определение безрискового актива

Что именно понимается под безрисковым активом (riskfree asset) при подходе Марковица? Так как при этом подходе рассматриваются инвестиции на один инвестиционный период, то доход по безрисковому активу является определенным. Если инвестор покупает безрисковый актив в начале инвестиционного периода, то он точно знает, какова будет его стоимость в конце периода. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то, по определению, стандартное отклонение для безрискового актива равно нулю.

В свою очередь, это означает, что ковариация между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю. Это станет очевидным, если вспомнить, что ковариация доходов по любым двум активам / и у равна произведению коэффициента корреляции активов и стандартных отклонений этих двух активов: s . = г s.s Если s = О для безрискового актива /, то S. = 0.

Так как безрисковый актив имеет, по определению, известную доходность, то этот тип актива должен быть некой ценной бумагой, обеспечивающей фиксированный доход и имеющей нулевую вероятность неуплаты. Но поскольку все корпоративные ценные бумаги имеют некоторую вероятность неуплаты, то безрисковый актив не может быть выпущен корпорацией. Значит, безрисковым активом может быть лишь ценная бумага, выпущенная правительством. Однако не каждая ценная бумага, выпущенная Казначейством США, является безрисковой.

Рассмотрим инвестора, который покупает казначейскую ценную бумагу, погашаемую через 20 лет на срок 3 месяца. Подобная ценная бумага является рискованной, так как инвестор не знает, сколько будет стоить эта ценная бумага в конце его периода владения. Поскольку процентная ставка может измениться непредвиденным образом в течение периода владения, то не предсказуемо и изменение рыночной стоимости ценной бумаги. Так как наличие подобного риска процентной ставки {interest-rate risk) делает стоимость казначейской ценной бумаги неопределенной, то такая бумага не может считаться безрисковым активом. Действительно, любая ценная бумага Казначейства со сроком погашения большим, чем период вложения, не может считаться безрисковым активом.

Теперь рассмотрим казначейскую ценную бумагу, срок погашения которой меньше, чем срок периода владения, например 30-дневный казначейский вексель в случае, когда период вложения равен 3 месяцам. В такой ситуации в начале инвестирования инвестор не знает, какой будет процентная ставка через 30 дней. Это означает, что инвестор не знает процентной ставки, по которой доходы от векселя могут быть реинвестированы на остаток периода владения. Присутствие риска ставки реинвестирования {reinvestment-rate risk) для всех казначейских бумаг со сроком погашения меньшим, чем период владения, означает, что такие ценные бумаги не могут считаться безрисковым активом.

Таким образом, остается только один тип казначейских бумаг, удовлетворяющих требованию безрисковости: казначейская ценная бумага со сроком погашения, совпадающим с периодом владения. Например, инвестор при трехмесячном периоде владения обнаружит, что казначейский вексель с трехмесячным сроком погашения предоставляет фиксированный доход. Так как ценная бумага погашается в конце периода владения, то инвестор получает в этот момент количество денег, которое уже известно при принятии инвестиционного решения.

Инвестирование в безрисковый актив часто называют безрисковым кредитованием {riskfree lenging), поскольку подобное инвестирование состоит в покупке казначейских векселей и поэтому означает предоставление займа правительству.

Учет возможности безрискового кредитования

С появлением на рынке безрискового актива инвестор получил возможность вкладывать часть своих денег в этот актив, а остаток - в любой из рискованных портфелей, содержащихся во множестве достижимости Марковица. Появление новых возможностей существенно расширяет множество достижимости и, что важнее, изменяет расположение значительной части эффективного множества Марковица. Суть этих изменений должна быть проанализирована, так как инвесторы заинтересованы в выборе порт-