Ранее ожидаемая доходность на индекс рынка была оценена в 5%. Исходя из данной величины, ожидаемую доходность ценной бумаги А можно оценить в 8%, так как коэффициент смещения и «бета»-коэффициент этой ценной бумаги были оценены в 2% и 1,2 соответственно:

г = 2%-1-(5%х 1,2) = 8%.

Аналогично, ожидаемая доходность ценной бумаги В может быть оценена в 3%, так как оценка коэффициента смещения равняется -1%, а «бета»-коэффициента - 0,8:

7д = -1% + (5%хО,8) = 3%.

При использовании рыночной модели дисперсия ценной бумаги / может быть оценена как сумма произведения квадрата значения «бета»-коэффициента ценной бумаги на дисперсию индекса рынка и дисперсию случайной погрещности. Уравнение для данной операции приводилось ранее:

где обозначает дисперсию индекса рынка и о,. обозначает дисперсию случайной погрещности для ценной бумаги /.

Предполагая, что дисперсия индекса рынка равняется 49, соответствующие дисперсии ценных бумаг Аи В можно оценить следующим образом:

о=(1,22х 49)+ 6,062= 107,28; Од = (0,8 X 49) + 4,76 = 54,02.

Это означает, что оценка стандартных отклонений данных ценных бумаг равняется 10,36% = V 107,28 и 7,35% = 54,02 соответственно.

В заключение отметим, что ковариация ценных бумаг / и J оценивается произведением трех чисел: «бета»-коэффициента /-й ценной бумаги, «бета»-коэффициентау-й ценной бумаги и дисперсии индекса рынка. То есть можно использовать следующую формулу:

о, = Р,Д.;°;.(8.15)

Таким образом, ковариация ценных бумаг Аи В может быть оценена следующим образом:

о,= 1,2 x 0,8 x 49 = 47,04.

Итак, применяя подход, использующий рыночную модель для оценки ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариации, следует определить следующие параметры:

Для индекса рынка:

Ожидаемая доходность (г,)1

Дисперсия (о)1

Для каждой ценной бумаги:

Коэффициент вертикального смещения (а,,)N

«Бета» (р„)N

Дисперсия случайной погрешности (о )N

ИтогоЗЛ/ + 2

Таким образом, в рамках данного подхода для определения эффективного множества и оптимального портфеля необходимо произвести оценку 302 [(3 х 100) + 2] параметров для 100 рисковых ценных бумаг. После оценки этих 302 параметров не составляет труда

Примечания

Это следует из того факта, что на отрезке от О до 100 находится бесконечное множество чисел. Если предположить, что данные числа отражают долю вложений инвестора в акции Able, а 100 минус данные числа - в акции Baker, то мы имеем бесконечное множество портфелей, которые можно составить из этих двух ценных бумаг При данном утверждеиии, однако, предполагается, что при желании инвестор может приобретать часть одной акции. Например, инвестор может купить не только одну акцию ЛЫе, но или 1,1, или 1,01, или 1,001 акции.

2 Для того чтобы определить состав портфелей из эффективного множества, инвестор должен решить задачу «квадратичного программирования». См. книгу Марковица Portfolio Selection (ссыл-кав конце главы), в частности с. 176-185.

Инвестор, нейтральный к риску выберет портфель S, в то время как азартный инвестор выберет либо S, либо Я.

*Данное «свойство кривизны» может быть также использовано для объяснения того, почему правая сторона множества достижимости имеет форму зонта, как это показано на рис. 8.2. Более подробное объяснение вогнутости содержится в Приложении А.

*Это пример однофакторной модели, где фактором является доходность на индекс рынка (см. гл. 11 для получения дополнительной информации о факторных моделях; см. гл. 10, 23 и 26, в которых более подробно рассмотрены индексы рынка). В действительности модель имеет более общий характер, чем приведенная здесь, поэтому нет необходимости в использовании доходности именно на индекс рынка. Можно использовать доходность на любую переменную, такую, например, как предсказанный уровень увеличения промышленного производства или валовой внутренний продукт, если мы можем предположить, что она имеет большее влияние на доходность отдельных акций.

Будет технически более правильным обозначить стандартное отклонение случайной погрешности как о. так как оно измеряется относительно индекса рьшка /. Обозначение / не приводится в данном случае для упрощения записи.

Так как диапазон относится к возможным результатам, а интервал - к вероятности возникновения различных результатов, то можно заметить, что колесо рулетки просто является удобной формой представления вероятностного распределения случайной погрешности. Обычно предполагается, что случайная погрешность имеет нормальное распределение.

*Это возможно в том случае, если ценная бумага В имеет случайную погрешность, которой соответствует колесо рулетки с целыми значениями от -9% до 9%, но с интервалами между каждым целым числом от -5% до 5% в два раза большими, чем интервалы между целыми числами от -9% до -6% и от 6% до 9%. Это означает, что вероятность того, что случайная погрешность примет любое конкретное целое значение между -5% и 5%, равняется /30, в то время как вероятность того, что случайная погрешность примет целое значение из интервала от -9% до -6% и от 6% до 9%, равняется /30-

Методы оценки коэффициента «бета» приведены в гл. 17.

"Если случайная погрешность принимает значение, равное нулю, то это означает что ценная бумага лежит на линии. Однако вероятность такой ситуации мала для большинства ценных бумаг

применить уравнения (8.14), (8.8) и (8.15) для расчета ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариации рискованных ценных бумаг. Рассмотренный ранее метод альтернативной оценки всех параметров один за другим требует оценить 5150 параметров. Как можно заметить из данного примера, применение подхода, основанного на рыночной модели, значительно сокращает объем расчетов.

После того как были оценены ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации, необходимо ввести эти значения в компьютер. Затем компьютер может приступить к определению эффективного множества, используя «алгоритм квадратичного программирования»*. После этого оптимальный портфель инвестора может быть подобран с помощью определения точки касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством.

" Приложение Б показывает, как можно использовать рыночную модель для оценки ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариации ценных бумаг из достижимого множества. Имея данные оценки, можно последовательно определить эффективное множество. См. примечание 2.

" В действительности все, что нужно для уменьшения собственного риска, - это постоянное сокращение максимального объема инвестиций в любую ценную бумагу при возрастании N.

" Harry М. Markowitz, «Tlie Optimization of tlie Quadratic Function Subject to Linear Constraints*, Naval Research Logistic Quarterly, 3, nos. 1-2 (March-June 1956), pp. 111-133.

Данный пример основан на примере, приведенном Марковицем в книге «Portfolio Selection* (New Haven, СТ: Yale University Press, 1959), pp. 176-185.

В данном примере эффективный портфель, имеющий ожидаемую доходность в 20,93%, может быть определен с помощью решения следующего уравнения относительно Y: (23,20% х Y) -I-+ (17,26% X (1 - У)) = 20,93%. Так как это линейное уравнение с одним неизвестным, то его легко решить. Решение У= 0,62 показывает, что вложение 62% инвестиций во второй «угловой» портфель и 38% (100% - 62%) в третий «угловой» портфель позволяет создать эффективный, портфель с такой же ожидаемой доходностью, но меньшим стандартным отклонением (равным 14,09%), чем портфель, состоящий наполовину из второго «углового» и наполовину из третьего «углового».

"Данное число было получено следующим образом. Ковариационная матрица состоит из строк и N столбцов, то есть из Л ячеек, относящихся к параметрам, которые необходимо оценить. Диагональные ячейки содержат дисперсий, учтенных ранее, следовательно, нам необходимо оценить (N - N) ковариации. Так как ковариационная матрица является симметричной, то нам необходимо оценить только те ковариации, которые расположены ниже диагонали (поскольку симметричные элементы выше диагонали будут им равны), то есть нам остается оценить (Л - N)/2 параметров.

" Подход, использующий рыночную модель, является приблизительным подходом (как и все остальные альтернативные подходы), потому что он основан на ряде упрощений. Например, данный подход предполагает, что случайные погрешности любых двух ценных бумаг являются некоррелированными (предположение, необходимое для вывода уравнения (8.11с), а позднее уравнения (8.15)). Это означает, что результат поворота колеса рулетки для одной ценной бумаги (такой, например, как Mobile) не оказывает никакого влияния на результат поворота колеса рулетки для другой ценной бумаги (такой, например, как Exxon). Это предположение оспаривается в том случае, когда рассматриваются ценные бумаги, относящиеся к одной отрасли. См.; Benjamin F. King, «Market and Industry Factors in Stock Price Behavior», Journal of Business, 39, no. 1 (January 1966), pp. 139-170; and James L. Farrell, Jr., «Analyzing Covariation of Returns to Determine Homogeneous Stock Groupings», Journal of Business, 47, no. 2 (April 1974), pp. 186-207.

*Cm. приложение Б к гл. 9, где описан алгоритм, который может быть использован вместе с моделью рынка для определения состава эффективного множества.

Ключевые термины

теорема об эффективном множестве эффективное множество достижимое множество эффективные портфели неэффективные портфели оптимальный портфель рыночная модель

случайная погрешность «бета»-коэффициент «агрессивные» акции «оборонительные» акции рыночный риск собственный риск диверсификация

Рекомендуемая литература

1. Как уже упоминалось в конце гл. 7, основная работа по разработке модели средних и ковариации была проделана Гарри Марковицем, который изложил свои идеи в статье, а позднее в книге: