John von Neumann and Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior (New York: John Wiley, 1944).

Kenneth J. Arrow, Essays in the Theory of Risk-Bearing (Chicago: Markham, 1971).

3.Существенно отличающимся трудом по теории полезности является работа: Paul J.H. Schoemaker, «The Expected Utility Model: Its Variants, Рифозез, Evidence and Limitations*, Journal of Economic Literature, 20, no. 2 (June 1982), pp. 529-563.

4.В качестве введения в теорию неопределенности и полезности см. работы: Mark P.Kritzman, «...About Uncertainty*, Financial Analysts Journal, 47, no. 2 (March/ April 1991), pp. 17-21.

Mark P. Kritzman, «...About Utility», Finance Analysts Journal, 48, no. 3 (May/June 1992), pp. 17-20.

Глава

Портфельный анализ

предыдущей главе была рассмотрена проблема выбора портфеля, с которой сталкивается каждый инвестор. Кроме того, в ней был представлен подход Гарри Марковица к рещению данной проблемы. При таком подходе инвестор должен оценить альтернативные портфели с точки зрения их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, используя кривые безразличия. В случае избегания риска инвестором портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей выше и левее остальных кривых, будет выбран для инвестирования.

Однако предыдущая глава оставила некоторые вопросы без ответов. В частности, как можно использовать подход Марковица, если существует бесконечное число возможных инвестиционных портфелей? Что произойдет, если инвестор будет рассматривать набор ценных бумаг для инвестирования, одна из которых является безрисковой? Что произойдет, если инвестор будет иметь возможность купить ценные бумаги по предельной цене? В данной и в следующей главах даны ответы на эти вопросы, начиная с первого.

Теорема об эффективном множестве

Как было отмечено ранее, из набора N ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Рассмотрим ситуацию с компаниями Able, Baker и Charlie, когда iV равно трем. Инвестор может купить или только акции компании Able, или только акции компании Baker, или некоторую комбинацию акций двух компаний. Например, он может вложить половину средств в одну а половину в другую компанию, или 75% в одну а 25% в другую, или же 33% и 67% соответственно. В конечном счете инвестор может вложить любой процент (от 0% до 100%) в первую компанию, а остаток во вторую. Даже без рассмотрения акций компании Charlie, существует бесконечное число возможных портфелей для инвестирования.

Необходимо ли инвестору проводить оценку всех этих портфелей? К счастью, ответом на этот вопрос является «нет». Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве {efficient set theorem):

Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:

1.Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня

2.Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством {efficient set), или эффективной границей.

8.1.1

Достижимое множество

Рисунок 8.1 представляет иллюстрацию местоположения достижимого множества {feasible set), также известного как множество возможностей, из которого может быть вьщелено эффективное множество. Достижимое множество представляет собой все портфели, которые могут быть сформированы из группы в jVценных бумаг Это означает, что все возможные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг, лежат либо на границе, либо внутри достижимого множества (точки G, Е, S к Н на рис. 8.1 являются примерами таких портфелей). В общем случае, данное множество будет иметь форму типа зонта, подобную изображенной на рисунке. В зависимости от используемых ценных бумаг, оно может быть больше смещено вправо или влево, вверх или вниз, кроме того, оно может быть шире или уже приведенного здесь множества. Главное, что, за исключением вырожденных случаев, оно будет похоже на множество, показанное на рис. 8.1.

8.1.2 Теорема об эффективном множестве в применении к достижимому множеству

Теперь мы можем определить местоположение эффективного множества, применив теорему об эффективном множестве к достижимому множеству Сначала выделим множество портфелей, удовлетворяющих первому условию теоремы об эффективном множестве. Если посмотреть на рис. 8.1, то можно заметить, что не существует менее рискового портфеля, чем портфель Е. Это объясняется тем, что если провести через Е вертикальную прямую, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать левее данной прямой. При этом не существует более рискового портфеля, чем портфель Н. Это объясняется тем, что если провести через Н вертикальную линию, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать правее данной прямой. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих максимальную ожидаемую доходность при изменяющемся уровне риска, является часть верхней границы достижимого множества, расположенная между точками £ и Я.

Достижймое множество

Рис. 8.1. Достижимое и эффективное множества