+ XX,a,,+XXa,, + XXaJ =

= [(0,2325 X 0,2325 х 146) + (0,2325 х 0,4070 х 187) +

+ (0,2325 X 0,3605 х 145) +

+ (0,4070 X 0,2325 х 187) + (0,4070 х 0,4070 х 854) + + (0,4070 X 0,3605 X 104) +

+ (0,3605 X 0,2325 х 145) + (0,3605 х 0,4070 х 104) + + (0,3605 X 0,3605 X 289)]/ = = [277,13]/ = = 16,65%.

Следует отметить некоторые интересные свойства ковариационной матрицы. Во-первых, матрица является квадратной, т.е. количество столбцов равняется количеству строк, а общее число ячеек для ценных бумаг равняется Л.

Во-вторых, дисперсии ценных бумаг лежат на диагонали матрицы, которая представляет собой ячейки, лежащие на линии, проходящей из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. В предыдущем примере дисперсия первой ценной бумаги (146) лежала на пересечении первой строки и первого столбца. Соответственно дисперсия второй ценной бумаги (854) лежала на пересечении второго столбца со второй строкой, а третьей (289) - на пересечении третьего столбца с третьей строкой.

В-третьих, матрица является симметричной. Это означает, что элемент, расположенный в /-0Й строкеу-ого столбца равен элементу расположенному ву-ой строке /-ого столбца. То есть элементы ячеек, расположенных над диагональю, повторяются в соответствующих ячейках, расположенных под диагональю. Из предыдущего примера видно, что элемент из первой строки второго столбца (187) равен элементу второй строки первого столбца. Соответственно 145 появляется и в первой строке третьего столбца, и в третьей строке первого столбца, а 104 появляется и во второй строке третьего столбца, и в третьей строке второго столбца. Это свойство имеет простое объяснение: ковариация между двумя ценными бумагами не зависит от порядка, в котором эти две бумаги упоминаются. Это означает, что, например, ковариация между первой и второй ценной бумагами является такой же, как и ковариация между второй и первой".

Краткие выводы

1.Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается рещить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности.

2.Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. Стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля.

3.Кривая безразличия представляет собой различные комбинации риска и доходности, которые инвестор считает равноценными.

4.Предполагается, что инвесторы рассматривают любой портфель, лежащий на кривой безразличия выще и левее, как более ценный, чем портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей ниже и правее.

Вопросы и задачи

1. Ниже приводится список некоторого количества портфелей с их ожидаемыми доходностями, стандартными отклонениями и уровнем полезности (измеряемым в условных единицах), которые были рассмотрены Арки Воном. Исходя из этой информации необходимо построить график кривых безразличия инвестора Арки.

2.Почему делается предположение, что кривые безразличия наклонны и направлены вверх и вправо?

3.Что говорит набор выпуклых кривых безразличия об оценке инвестором соотношения риска и доходности для различных значений риска?

4.Почему предполагается, что типичный инвестор предпочитает портфель, расположенный на кривой безразличия выше и левее?

5.Что означает заявление, что «инвестор, избегающий риска, демонстрирует уменьшение предельной полезности дохода»? Почему уменьшение предельной полезности приводит к тому, что инвестор отказывается принять условия «честного пари»?

6.Объясните, почему кривые безразличия инвестора не могут пересекаться?

7.Почему кривые безразличия инвестора, избегающего риска в большей степени, имеют более крутой наклон, чем кривые безразличия инвестора, избегающего риска в меньшей степени?

8.Рассмотрите наборы кривых безразличия двух инвесторов: Хока Вилсона и Кики Кайлера. Определите, кто (Хок или Кики):

а)больше избегает риска;

б)предпочитает инвестицию А инвестиции В;

в)предпочитает инвестицию С инвестиции D. Объясните, почему вы ответили таким образом.

5.Предположения о ненасыщаемости и избегании риска инвестором выражаются в том, что кривые безразличия имеют положительный наклон и выпуклы.

6.Ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель. В качестве весов служат относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.

7.Ковариация и корреляция измеряют степень согласованности изменений значений двух случайных переменных.

8.Стандартное отклонение портфеля зависит от стандартных отклонений и пропорций входящих в портфель ценных бумаг и, кроме того, от ковариации их друг с другом.

9. Рассмотрите четыре акции со следующими ожидаемыми доходностями и стандартными отклонениями:

АкцияОжидаемая

доходность(в %)

Стандартное отклонение (в %)

7 11

Есть ли среди этих акций те, которые инвестор, избегающий риска, предпочтет всем остальным?

10. Согласны ли вы с предположениями о ненасыщенности и избегании риска? Придумайте случай, противоречащий этим предположениям.

И. В начале года Корне Бредли обладал четырьмя видами ценных бумаг в следующих количествах и со следующими текущими и ожидаемыми к концу года ценами:

Ценная бумага

А В С D

Количество акций

100 200 50 100

Текущая цена (в долл.)

50 35 25 100

Ожидаемая цена

к концу года (в долл.)

50 40 50 110

Какова ожидаемая доходность портфеля Корнса за год? 12. Имея следующую информацию об акциях, входящих в портфель, вычислите для каждой акции ожидаемую доходность. Затем, используя эти индивидуальные ожидаемые доходности ценных бумаг, вычислите ожидаемую доходность портфеля.