3 3

где O.J обозначает ковариацию (covariance) доходностей ценных бумаг / и /

(7.4)

Ковариация

Что такое ковариация? Это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг / и j, зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.

Корреляция

Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

где р.. (греческая буква р) обозначает коэффициент корреляции (correlation coefficient) между доходностью на ценную бумагу / и доходностью на ценную бумагу / Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.

Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1. Если он равен -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если -1-1 - полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями.

Рисунок 7.6 (а) представляет собой точечную диаграмму доходностей гипотетических ценных бумаг А н В, когда корреляция между двумя этими ценными бумагами полностью положительна. Заметим, что все точки лежат на прямой наклонной линии, идущей из левого нижнего квадранта в правый верхний. Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Соответственно, когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно низкую доходность, тогда и другая имеет относительно низкую доходность.

Однако корреляция между доходностями двух различных ценных бумаг будет абсолютно отрицательной, когда точечная диаграмма показывает, что точки лежат именно на прямой наклонной линии, идущей из левого верхнего квадранта в правый нижний, как это показано на рис. 7.6 (б). В данном случае можно сказать, что доходности двух ценных бумаг изменяются противоположно друг другу То есть когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая имеет относительно низкую доходность.

Особый случай возникает, когда точечная диаграмма доходности ценных бумаг показывает разброс точек, который даже приблизительно не может быть представлен

]l/2

прямыми наклонными линиями. В таком случае делается вывод о некоррелированности доходностей, т.е. о равенстве нулю коэффициента корреляции. Рис. 7.6 (в) представляет данный пример. В такой ситуации, когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая может иметь и относительно высокую, и относительно низкую, и среднюю доходности.

Рис. 7.6. Доходность двух ценных бумаг Двойное суммирование

Рассматривая, что такое ковариация и корреляция, очень важно понимать, как производится двойное суммирование, используемое в уравнении (7.4). Хотя существует много способов двойного суммирования, приводящих к одному и тому же результату, один из способов, возможно, представляется более подходящим, чем другие. Он начинается с первого суммирования и присвоения / значения 1. Затем выполняется второе суммирование с последовательным присвоением j значений от 1 до 3. В этот момент / в первом суммировании увеличивается на 1, следовательно, теперь / = 2. Опять производится второе суммирование для всех / от I до 3, но только теперь / = 2. Далее / в первом суммировании увеличивается на 1, т.е. / = 3. Затем еще раз выполняется второе суммирование для всех j от 1 до 3. В данный момент нужно заметить, что / и j достигли своего верхнего предела, равного 3. Это означает, что настало время остановиться, так как двойное суммирование уже закончено. Этот процесс может быть представлен алгебраически следующим образом:

>1

(7.6a)

+ XXo,, +X,X,a,, +X,Xa,,+

(7.66)

+ X,X,a,, +X,X,a,,+X,X,aj.

/=1 >1

(7.7)

Интересное свойство двойных сумм проявляется, когда индексы / и j относятся к одной ценной бумаге, В уравнении (7.6) такая ситуация возникает в первом (ХХа), пятом {Х.Ха,) и девятом (ХХа) членах. Что же это означает, если индексы при вычислении ковариации относятся к одной ценной бумаге? Например, рассмотрим первую ценную бумагу (Able) и случай, когда i=j= 1. Так как а,, обозначает ковариацию ценной бумаги номер один (Able) с ценной бумагой номер один (Able), уравнение (7.5) имеет вид:

On = PiiCiO, •(7.8)

Так как мы имеем корреляцию ценной бумаги с самой собой, то можно показать, что р,1 равен +1". Это означает, что уравнение (7.8) приводится к следующему виду:

о,, = 1 ХО, X о, = Oi ,

что является стандартным отклонением ценной бумаги, возведенным в квадрат, известным как дисперсия ценной бумаги. Таким образом, в двойном суммировании используются и дисперсии, и ковариации.

Ковариационная матрица

Как пример рассмотрим следующую ковариационную матрицу {variance-covariance matrix) акций компаний Able, Baker и Charlie:

Колонка 1 Колонка 2 Колонка 3

Элемент, находящийся в ячейке (/, у), обозначает ковариацию между ценными бумагами / и у. Например, элемент в ячейке (1,3) обозначает ковариацию между первой и третьей ценными бумагами, которая в данном случае равна 145. Элемент в ячейке (/, /) обозначает дисперсию /-ой ценной бумаги. Например, дисперсия второй ценной бумаги находится в ячейке (2,2) и равняется 854. Стандартное отклонение любого портфеля, состоящего из инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie, может быть вычислено с помощью ковариационной матрицы и формулы, приведенной в уравнении (7.66).

Например, рассмотрим портфель, приведенный в табл. 7.2, который имеет следующие пропорции: Х = 0,2325, X, = 0,4070, Х = 0,3605:

Каждый член двойной суммы включает в себя произведение весов двух ценных бумаг, X. п X , и ковариации этих двух ценных бумаг. Заметим, что нужно сложить девять членов, для того чтобы вычислить стандартное отклонение портфеля, состоящего из трех ценных бумаг То, что количество членов, которые нужно просуммировать (9), равно числу ценных бумаг, возведенному в квадрат (3-), не является простым совпадением.

В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из N ценных бумаг, требует двойного суммирования ценных бумаг, для чего необходимо сложить Л членов: