(7.1)

Здесь обозначает совокупную цену покупки всех ценных бумаг, входящих в портфель в момент ? = 0; W - совокупную рыночную стоимость этих ценных бумаг в момент г = 1 и, кроме того, совокупный денежный доход от обладания данными ценными бумагами с момента / = О до момента /= 1. Уравнение (7.1) с помощью алгебраических преобразований может быть приведено к виду:

И„(1 +/•,)= И-(7.2)

Из уравнения (7.2) можно заметить, что начальное благосостояние {initial wealth), или благосостояние в начале периода {W), умноженное на сумму единицы и уровня доходности портфеля, равняется благосостоянию в конце периода {W), или конечному благосостоянию {terminal wealth).

Ранее отмечалось, что инвестор должен принять рещение относительно того, какой портфель покупать в момент г= 0. Делая это, инвестор не знает, каким будет предположительное значение величины для больщинства различных альтернативных портфелей, так как он не знает, каким будет уровень доходности больщинства этих портфе-лей1 Таким образом, по Марковицу, инвестор должен считать уровень доходности, связанный с любым из этих портфелей, случайной переменной {random variable). Такие переменные имеют свои характеристики, одна из них - ожидаемое (или среднее) значение {expected value), а другая - стандартное отклонение {standard deviation)

Марковиц утверждает, что инвестор должен основывать свое рещение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении. Это означает, что инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля, а затем выбрать «лучщий» из них, основываясь на соотношении этих двух параметров. Интуиция при этом играет определяющую роль. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение - как мера риска, связанная с данным портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель был исследован в смысле потенциального вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим.

Начальное и конечное благосостояние

Согласно уравнению (1.1) гл. 1 доходность ценной бумаги за один период может быть вычислена по формуле:

Благосостояние в конце периода - Благосостояние в начале периода

Доходность =-, (11)

Благосостояние в начале периода

где «благосостоянием в начале периода» называется цена покупки одной ценной бумаги данного вида в момент t = О (например, одной обыкновенной акции фирмы), а «благосостоянием в конце периода» называется рыночная стоимость данной ценной бумаги в момент г = 1 в сумме со всеми выплатами держателю данной бумаги наличными (или в денежном эквиваленте) в период с момента / = О до момента ? = 1.

7.1.1 Определение уровня доходности портфеля

Поскольку портфель представляет собой совокупность различных ценных бумаг, его доходность может быть вычислена аналогичным образом:

Таблица 7.1

Сравнение уровней конечного благосостояния для двух гипотетических портфелей

Вероятность оказаться ниже данного Уровень конечногоуровня конечного благосостояния (в %)

благосостояния (в долл.)Портфель 4* Портфель 6

70 ОООО2

80 ОООО5

90 000414

100 0002127

110 0005746

120 0008866

130 0009982

" Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля A - iu 10% соответственно.

"Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля Л - 12 и 20% соответственно. Начальное благосостояние полагается равным $ 100 ООО, кроме того, предполагается, что оба портфеля имеют нормально распределенную доходность.

7.1.2 Пример

Предположим, что два альтернативных портфеля обозначены Aw В. Эти портфели представлены в табл. 7.1. Портфель/1 имеет ожидаемую годовуюдоходность8%, апортфель5- 12%. Предположим, что начальное благосостояние инвестора составляет $100 ООО, а период владения равен одному году; это означает, что ожидаемые уровни конечного благосостояния, связанные с портфелями/1 и В, составляют $108 ООО и $112 ООО соответственно. Исходя изэтого можно сделать вывод, что портфель бявляется более подходящим. Однако портфели/1 и Л имеют годовое стандартное отклонение 10 и 20% соответственно. Как показывает табл. 7.1, это означает, что вероятность того, что инвестор будет иметь конечное благосостояние в $70 ООО или меньще, составляет 2% при условии, что был приобретен портфель б, в то время как фактически вероятность того, что конечное благосостояние инвестора будет меньше $70 ООО при приобретении портфеля А, равняется нулю. Аналогично конечное благосостояние для портфеля 5 может с вероятностью 5% оказаться меньше $80 ООО, в то время как для портфеля А эта вероятность опять равна нулю. Если продолжить рассмотрение, то можно обнаружить, что вероятность для портфеля 5 получить меньше $90 ООО равна 14%, а для портфеля/1 - 4%. Далее, с вероятностью 27% конечное благо-состояниедля портфеля бокажется меньше $100 ООО, вто время как для портфеля/1 такая вероятность составляет всего лишь 21%. Так как инвестор обладает начальным благосостоянием в $100 000, то это означает, что существует большая вероятность получить отрицательную доходность (27%) при покупке портфеля В, чем при покупке портфеля/1(21%). В конечном счете из табл. 7.1 можно увидеть, что портфель А является менее рисковым портфелем, чем В, а это означает, что в этом смысле он более предпочтителен. Конечное решение о покупке портфеля/1 или бзависит от отношения конкретного инвестора к риску и доходности, что и будет показано в дальнейшем.

Кривые безразличия

Метод, который будет применен для выбора наиболее желательного портфеля, использует так называемые кривые безразличия (indifference curves). Эти кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности и, таким образом, могут быть представлены как двухмерный график, где по горизонтальной оси откладывается риск, мерой которого является стандартное отклонение (обозначенное ст,), а по вертикальной оси - вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (обозначенная г

Рисунок 7.1 представляет собой график кривых безразличия гипотетического инвестора. Каждая кривая линия отображает одну кривую безразличия инвестора и представляет все комбинации портфелей, которые обеспечивают заданный уровень желаний инвестора. Например, инвесторы с кривыми безразличия, изображенными на рис. 7.1, будут считать портфели А и В {те же самые портфели, что и в табл. 7.1) равноценными, несмотря на то, что они имеют различные ожидаемые доходности и стандартные отклонения, так как оба этих портфеля лежат на одной кривой безразличия 7. Портфель В имеет большее стандартное отклонение (20%), чем портфель А (10%), и поэтому он хуже с точки зрения этого параметра. Однако полное возмещение этой потери дает выигрыш за счет более высокой ожидаемой доходности портфеля В (12%) относительно портфеля А (8%). Этот пример позволяет понять первое важное свойство кривых безразличия: все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора.

Рис. 7.1. График кривых безразличия инвестора, избегающего риска

Следствием этого свойства является тот факт, что кривые безразличия не могут пересекаться. Для того чтобы увидеть это, предположим, что две кривые в действительности пересекаются так, как это показано на рис. 7.2. Здесь точка пересечения обозначена X. При этом нужно учесть, что все портфели на кривой /, являются равноценными. Это означает, что они все так же ценны, как и X, потому что Лнаходится на /,. Аналогично все портфели на /, являются равноценными и в то же время такими же ценными, как и X, потому что Лтакже принадлежит кривой 7. Исходя из того, что X принадлежит обеим кривым безразличия, все портфели на /, должны быть настолько же ценными, насколько и все портфели на /,. Но это приводит к противоречию, потому что / и /, являются двумя разными кривыми, по предположению отражающими различные уровни желательности. Таким образом, для того чтобы противоречия не существовало, кривые не должны пересекаться.

Хотя инвестор, представленный на рис. 7.1, сочтет портфели А и 5равноценными, он найдет портфель С с ожидаемой доходностью 11% и стандартным отклонением 14% более предпочтительным по сравнению с А и В. Это объясняется тем, что портфель С лежит на кривой безразличия которая расположена выше и левее, чем Д. Таким