Форвардные ставки и коэффициенты дисконтирования

Уравнение (5.12) показывает, как может вычисляться коэффициент дисконтирования для глет через г-летнюю спот-ставку. В частности, двухгодовой коэффициент дисконтирования, связанный с 8%-ной двухгодовой спот-ставкой, равен 1/(1 + 0,08)- = 0,8573.

Уравнение (5.17) предлагает эквивалентный метод вычисления коэффициентов дисконтирования. При вычислении двухгодового коэффициента дисконтирования необходимо воспользоваться формулой:

= (1+.,)х(1+/„)("0)

Л=--= 0,8573.

(1+0,07)х(1 + 0,0901)

Но существует и другая интерпретация форвардных ставок. Рассмотрим заключаемый сейчас контракт на заем денег через год и возвращение их через два года. Такой контракт называется форвардным контрактом. Процентная ставка по одногодичному займу указываемая сейчас в таком контракте (заметьте, что проценты должны быть выплачены по истечении контракта, те. через два года), будет определяться как форвардная ставка.

Важно различать эту ставку и ставку по одногодичным займам, которая установится через год (спот-ставка через год). Форвардная ставка применяется к контракту, заключаемому сейчас, но относится к будущему периоду времени. После заключения контракта условия становятся неизменными, несмотря на то, что сама сделка произойдет позднее. Если вместо заключения форвардного контракта сейчас ждать наступления следующего года и затем подписывать контракт на заем денег по спот-ставкам, которые то>да установятся, то условия могут оказаться как лучше, так и хуже, чем сегодняшняя форвардная ставка, так как будущую спот-ставку невозможно точно предсказать.

В рассмотренном выше примере на рынке установилась такая цена на казначейские ценные бумаги, что инвестор, покупающий ценную бумагу со сроком обращения два года, потребует процентную ставку, равную двухгодовой спот-ставке в 8%, т.е. инвестора будут устраивать следующие условия: 1) годичный заем правительства по процентной ставке, равной годовой спот-ставке в 7%; 2) форвардный контракт с правительством на заем правительством денег через год и получение их обратно через два года по форвардной процентной ставке 9,01%.

Рассмотренные форвардные контракты являются неявными. Однако иногда форвардные контракты заключаются явным образом. Например, можно получить обязательство от банка на предоставление ему годичного займа, который будет возвращен через год по заранее определенной фиксированной ставке. Финансовые фьючерсные рынки (обсуждаемые в гл. 21) предоставляют стандартные форвардные контракты такого типа. Например, в сентябре можно заключить контракт, по которому требуется заплатить $970 в декабре для покупки 90-диевиого казначейского векселя с выплатой $1000 в марте.

(1 + Vi)"x(l+/,-,,)

Таким образом, имея набор спот-ставок, можно определить рыночную функцию дисконтирования любым из этих двух способов - результат будет одинаковый. В первом случае спот-ставки используются в уравнении (5.12) для получения набора коэффициентов дисконтирования. Во втором случае спот-ставки используются для определения набора форвардных ставок, а затем путем внесения в уравнение (5.21) спот-ставок и форвардных ставок определяется набор коэффициентов дисконтирования.

Начисление сложных процентов

До сих пор при обсуждении процентных ставок предполагалось, что выплаты процентов происходят ежегодно. Часто подобный подход является адекватным, но для более точных подсчетов желательны более короткие промежутки времени. Более того, некоторые кредиторы производят перерасчет процентов несколько раз в год.

Начисление сложных процентов {compounding) - это выплата процентов на проценты. В конце каждого периода начисления процентов к основной сумме долга добавляются проценты. За следующий период проценты начисляются исходя из увеличенной суммы основного долга. Этот процесс продолжается до окончания последнего интервала такого начисления.

Рассмотренные ранее формулы можно применить для расчета сложных процентов за интервалы времени, кратные одному году. Для упрощения процедуры можно вести расчеты в единицах выбранных периодов начисления. Например, доходность к погашению может быть подсчитана для любого выбранного интервала времени инвестирования. Если вклад Р долларов обернется получением /"долларов через десять лет, то доходность к погашению может быть рассчитана при ежегодном начислении сложных процентов из следующего уравнения:

P{\+rJ = F,(5.22)

так как /"будет получена через десять годовых периодов. Результат {г) будет означать годовую ставку процента при ежегодном начислении сложных процентов.

Аналогично доходность к погашению может быть рассчитана при полугодовом начислении сложных процентов из уравнения:

P{\ + r,f = F,(5.23)

так как /"будет получена через 20 полугодовых периодов. Результат (г) будет означать полугодовую ставку при начислении сложных процентов каждые полгода. Она может быть удвоена для получения годовой ставки с полугодовым начислением. Аналогично годовая ставка {г) при ежегодном начислении сложных процентов может быть рассчитана при вычислении ставки г из следующего уравнения:

\ + г,={\+г,)\(5.24)

Например, рассмотрим инвестицию, стоящую $2315,97, которая принесет $5000 через десять лет. Применяя уравнения (5.22) и (5.23), получаем:

В результате коэффициент дисконтирования для года t, являющийся членом уравнения (5.12), может быть выражен следующим образом:

$2315,97 (1 + Гд)° =$5000

$2315,97(1 + /-,)° = $5000,

откуда получаем, что /- = 8% и г=3,923%. Таким образом, инвестиция в данную ценную бумагу может быть описана как инвестиция в банковский депозит, соответствующая или 8%-ной годовой ставке с ежегодным начислением, или полугодовой ставке 3,923% с полугодовым начислением сложных процентов, или годовой ставке 7,846% (2 X 3,923%) с полугодовым начислением сложных процентов.

Для уменьшения проблем, возникающих вследствие большого числа методов определения процентных ставок. Федеральный закон о справедливом кредитовании (Federal Truth-in-Lending Act) требует от каждого кредитора подсчета и представления годовой процентной ставки (APR, annual percentage rate), следующей из условий контракта. Годовая процентная ставка определяется следующим образом: 1) рассчитывается доходность к погашению за период, равный периоду начисления сложных процентов. Этот период берется равным минимальному интервалу между выплатами процентов; 2) полученная процентная ставка умножается на количество периодов начисления, содержащихся в целом году При неравной величине интервалов выплат задача усложняется, но в Федеральном законе о справедливом кредитовании эта ситуация предусмотрена, что упрощает задачу сравнения условий различных займов.

Полугодовое начисление сложных процентов обычно используется при определении доходности к погашению для облигаций, так как купонные выплаты, как правило, делаются дважды в год. Большинство финансовых калькуляторов и компьютерных программ позволяют вычислять доходности к погашению при многократных годовых выплатах.

Метод банковского учета

Помимо метода, который установлен Законом о справедливом кредитовании, существуют другие методы определения процентных ставок. Традиционной процедурой является метод банковского учета (bank discount method). Если кто-нибудь берет у банка $ 100 взаймы на один год, то банк может сразу удержать процентные выплаты, например 8%, и выдать только $92. В соответствии с этим методом учетная ставка равна 8% номинальной суммы долга. Заемщик получает только $92, за которые он должен заплатить $8 в качестве годовых процентов. Истинная процентная ставка должна вычисляться на основе той суммы, которую заемщик получает фактически, что в нашем случае дает 8,70% ($8/$92 х 100%).

Несложно найти соотношение банковской учетной ставки и истинной годовой процентной ставки. (В такой ситуации истинная процентная ставка часто называется эквивалентной доходностью облигации (bond equivalent yield).) Если банковскую учетную ставку обозначить через BDR, то истинная процентная ставка (APR) задается следующим выражением: BDR/(\ - BDR). Поскольку BDR > О, то величина банковской учетной ставки показывает заниженную стоимость займа (так как BDR < BDR/(\ - BDR)). В последнем примере 8,70% > 8%, те. банковская учетная ставка оказалась меньше истинной процентной ставки по займу на 0,70%.

Кривые доходности

В каждый момент времени стоимость казначейских ценных бумаг складывается в соответствии с существующим набором спот-ставок и связанными со спот-ставками коэф-