ГЛАВА ВТОРАЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ НОРМЫ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО НАКОПЛЕНИЯ

Учитывая все сказанное в предыдущем разделе, задачу оптимизации нормы производственного накопления можно сформулировать следующим образом: вычислить пропорцию между производственным накоплением и потреблением в плановом периоде t, обеспечивающую максимум индекса роста фонда потребления в этом периоде.

Обозначив индекс роста фонда потребления за t лет , норму производственного накопления q, оптимальную норму производственного накопления q, запишем задачу следующим образом: вычислить q, обеспечивающую Мах It.

Совершенно очевидно, что вычисление оптимальной нормы производственного накопления q требует знания функции fif(q), т. е. зависимости индекса роста фонда потребления за / лет от величины нормы производственного накопления. Если эта функция известна, величина оптимума определяется уравнением

- = 0\(2.1)

производная функции U по q.

Таким образом,вычисление индекса роста фонда потребления за лeтний промежуток времени - ключевая, центральная задача всей проблемы.

Первым шагом в решении этой задачи является построение упрощенной математической модели роста фонда потребления. Упрощение заключается в введении следующих двух предположений:

1) прирост национального дохода осуществляется только в результате накопления; 2) капитальные вложения некоторого года начинают давать эффект уже в следующем году, что равносильно предположению о равенстве лага капитального строительства одному году.

Этот прием в нашем случае чрезвычайно эффективен, ибо, как выяснится в дальнейшем, основные черты вычислительного аппарата легче всего изучить на упрощенной модели. Кроме того, оказывается, что расчет производственного накопления в более сложных случаях осуществляется путем сведения к более простому. Так, случай произвольной величины лага можно представить как процесс с лагом, равным одному году (о чем см. главу 3).

Введем следующие дополнительные обозначения:

Лг - национальный доход, созданный в г-м году ((г = 0, 1, 2, t)-

Пг - фонд потребления, созданный в i-м году ((г = 0, 1, 2, t);

Е - коэффициент абсолютной эффективности капитальных вложений;

- фонд производственного накопления г-го года (/=0, 1, 2, t);

qi - норма накопления г-го года (г = 0, 1, 2.....t).

Напомним, что в фонд потребления при такой постановке проблемы включается фонд непроизводственного накопления, по своей экономической природе связанный с потреблением.

полнительные трудности, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

В дальнейшем мы откажемся от этих упрощений, приближая условия модели к реальным услоВИЯм роста нацпо-нального дохода и фонда потребления.

Коэффициент абсолютной эффективности капитальных вложений рассматривается как частное от деления прироста национального дохода в результате накопления на величину капитальных вложений, вызвавших этот прирост.

Попытаемся установить закономерность роста фонда потребления в зависимости от нормы производственного накопления.

Индекс роста фонда потребления за t лет h может быть расчленен на t цепных годовых индексов.

/, = /./".../f.

Величина этих цепных индексов характеризу- i ет рост фонда потребления в каждом году плано- 5, вого периода, состоящего из t лет. Вычислим эти индексы.

Плановому периоду предшествует базисный (отчетный) год. Все показатели этого года (в том числе, конечно, и норма производственного накопления) известны. В базисном году (которому присвоим индекс 0) создан национальный доход Ло. состоящий из фонда потребления По и фонда производственного накопления то = дМ. В результате осуществления капитальных вложений (в соответствии с введенными упрощениями) национальный доход следующего года (первого года планового периода) возрастет на величину Ет, которая зависит от эффективности капитальных вложений Е. Таким образом, величина национального дохода 1-го года планового периода станет равной

(2.2)

В первом плановом году планируется некоторая пропорция между фондами потребления и производственного накопления, определяемая нормой накопления q\. Следовательно, фонд накопления 1-го года равен /Пх = q-hli.

Фонд потребления 1-го года можно представить как разность между национальным доходом 1-го года (2.2) и„ фондом накопления:

N,Eq,N,~q,{N, + Em,). В базисном году фонд потребления составляет величину

Теперь нетрудно вычислить индекс роста фонда потребления в первом плановом году по отношению к базисному:

Эту формулу легко обобщить на случай вычисления фонда потребления любого i-ro года планового периода. В этом случае роль базисного года играет предшествующий (i - 1) год. Фонд потребления i-ro года: III = Л.--! + Emti - qiNi = N1.., + Eqt-, • Л,- i ~ - qiNi = Ni , + Eqi, -Л, ~q, (Л?,- ; + £/ni i). Фонд потребления г-1-го года;

= iV,„, (1-(/, ,), Разделив фонд потребления i-ro года на этот же показатель для i-1-го года, получим цепной годовой индекс роста фонда потребления t-ro года:

(2.4)

Запишем выражение для тцекса роста фонда потребления за t лет планового периода, учтя то обстоятельство, что индекс роста фонда потребления за t лет - /( - равен произведению цепных годовых индексов:

J (l-gi)(l + £?o) . (1-?г)(1-Ь£?1) 1-01-91

Шо не содержит вложений, возмещающих износ средств труда.

1 - <7t-t

После сокращения получим = Л±1Я (1 - 90 (1 + Eq,)... (1 + Eqt-x). (2.5,.

Член --i- в выражении (2.5) является констан-

той, ибо базисная норма производственного накопления задана. Ее величину, естественно, нельзя варьуфовать, поскольку это параметр расширенного воспроизводства прошлого, отчетного периода. Напротив, q\, q2, г -значения нормы производственного накопления для всех лет планируемого периода. Эти величины неизвестны. Эффективность вложений принята постоянной. В соответствии с поставленной задачей i, q2, qi должны принимать значения, максимизирующие индекс роста фонда потребления за t A&r - lt-

Здесь уместно вспомнить аргументацию А. Ноткина в пользу планирования величины нормы производственного • накопления постоянной для всего периода, планирования, устраняющего напряженность варианта с повышающейся нормой и в то же время свободного от потерь, возникающих при варианте с понижающейся нормой. Если учесть эти соображения, то следует принять

qi = q2 = ... = qi = q,

что означает следующее; для всех лет планового периода планируется единая норма производственного накопления. Конечно, это не относится к величине нормы производственного накопления базисного года qa, которую, как уже отмечалось выше, мы не вправе варьировать.

Формула индекса роста фонда потребления приобретает теперь следующий вид:

Таким образом, индекс роста фонда потребления представлен как функция нормы производственного накопления q.

Эмпирическая проверка формулы индекса роста фонда потребления затруднена в связи с вве-52

денными упрощающими предположениями. Однако формула (2.6) может быть проверена на числовой модели, котор-ая тоже ограничена этими предположениями. Выше уже говорилось о том,"что такая квазйэмпирическая проверка формулы не может заменить статистического подтверждения, тем не менее она необходима. Такая проверка гарантирует безошибочность дедуктивных выводов при построении аналитических формул. Если математические выкладки проведены корректно, результат числовой модели должен совпадать с величиной, рассчитанной по формуле, ибо числовая и математическая модели базируются на одних и тех же предположениях.

Предлагаемые ниже числовые модели отличаются от моделей А. Ноткина главным образом тем, что в них не используется коэффициент производственного накопления. Прирост национального дохода в некотором году естественно определять через коэффициент абсолютной эффективности капитальных вложений, который равен отно- , шению прироста национального дохода к величине

капитальных вложении, т. е. с =-. Если извест-

ны величины вложений и нормативного коэффициента эффективности, легко вычислить предполагаемый прирост национального дохода: N = Ет,

Рассмотрим пример построения числовой модели, основанной, как и математическая, на предположении равенства лага одному году и не учитывающей рост национального дохода в связи с улучшением использования «старых» фондов. В базисном году величина национального дохода составила 100 млрд. руб. При норме производственного накопления 0,25 эта величина распадается на фонд накопления и потребления в пропорции 1 : 3. Фонд накопления составляет 25 млрд. руб., а фонд потребления - 75 млрд. руб. Фонд производственного накопления представляет собой совокупность вложений в производство, дающих эффект уже в следующем году. Если эффективность вложений рав-