назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [ 63 ] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


63

-оптимального оценивания и прогнозирования вектора состояния динамической системы (финансового рынка);

-динамической оптимизации принимаемых решений с использованием оптимальных (по критерию минимума среднеквадратической ошибки) оценок вектора «текущего» и «будущего» состояния динамической системы (финансового рынка).

Именно в такой последовательности мы рассмотрим алгоритм решения поставленной задачи. Попутно заметим, что даже для линейных динамических систем не удается получить решение задачи оптимального управления в замкнутом аналитическом виде, а лишь только в форме алгоритмов вычислений [6].

7.4.4.1. Оптимальное оценивание и прогнозирование вектора состояния финансового рынка

Хорошо известно[5,6], что оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки оценивания состояния («текущего», «прошлого» и «будущего») динамической системы является алгоритм, называемый фильтром Р. Калмана. Все любые другие алгоритмы оценивания по точности могут лишь приближаться к точности оценивания, которую обеспечивает фильтр Калмана. Потенциально возможная точность оценивания, достигаемая указанным фильтром, обеспечивается благодаря тому, что структура и параметры указанного алгоритма предварительно настраиваются на «статистический портрет» оцениваемой динамической системы. Именно поэтому необходимо проводить предварительные статистические исследования финансового рынка, чтобы получить адекватную рынку математическую модель в виде системы дифференциальных (разностных) уравнений, и уже затем настроить соответствующий фильтр Калмана на полученную математическую модель финансового рынка.

С учетом уравнения динамической системы (финансового рынка) вида (7.4.2) уравнения канала измерений (вычислений) вида (7.4.3), а также известных результатов теории [5], соответствующие уравнения фильтра Калмана для несмещенного оценивания



текущего состояния финансового рынка с минимальной среднеквадратической ошибкой, могут быть записаны в виде:

XXi + \) = A(i)Xii) + B(iMi), Х(/„) = # (7.4.12) Х(0 = ХУ) + K(i){Y(0 - Х(0)(7.4.13),

где - m(i) - оценка вектора математического ожидания случайного процесса эффективности рынка, при этом матрица ковариации ошибок оценивания и матрица усиления фильтра K(i) определяются из рекуррентных уравнений:

P(i + \) = A(i)P(i)A(i) + Q(i)(7.4.14)

Kii) = Pii){P\i) + R{i)}(7.4.15)

Р(0 = P(i) - К ii)P{i)(7.4.16)

Начальные условия определяются выражением:

PV) = P(io)(7-4.17)

Здесь Р(/о) - матрица ковариации начального вектора X(ifj).

Она выражает соответствующую априорную информацию по оцениваемой динамической системе.

Оптимальный по критерию минимума среднеквадратической ошибки предсказания линейный многошаговый экстраполятор («предиктор») определяется на основе решения разностного уравнения (7.4.2), определяющего статистическую динамику финансового рынка. Переходя в указанном уравнении к математическим ожиданиям и рассматривая вместо мгновенного значения оцениваемого процесса его оптимальные оценки а, также используя формулу [5] для решения разностного уравнения с правой частью, получим:



Х{Ю=ф{,К,1+\)Щ+\) + ф{К,тЫт)(7.4.18),

где: (...) - фундаментальная матрица решений однородного разностного уравнения, соответствующего уравнению (7.4.2);

X{i + \) - оптимальная оценка вектора текущего состояния финансового рынка, полученная с помощью фильтра Калмана;

Х{К) - оптимальная оценка «будущего» значения вектора состояния финансового рынка.

Как видно из формулы предсказания (7.4.18) для того чтобы предсказать значение вектора состояния финансового рынка в момент времени «АГ», необходимо знать значения математического ожидания эффективности финансового рынка в моменты времени

т{т),г = / + 1,....., ~ 1, непосредственно предшествующие

предсказываемому моменту времени «.К».

Покажем далее, как можно получить соответствующие оценки, не входя в противоречие с принципом каузальности (причинности) событий. Для этого рассмотрим одношаговый «предиктор», реализуемый фильтром Калмана [5]:

щ+\п) =Атал-1)+в{1)т (1)+к{1)т~жт-\)] ал. 19),

где матрица усиления фильтра /С(/) определяется из уравнения (7.4.15), а ковариационная матрица для ошибки экстраполяции может быть получена из решения разностного уравнения вида:

Р(1+\)=4{)Р(0{i)-Aifii)m+mfP{¥nio)=m (7.4.20).

Уравнение (7.4.20) является дискретным аналогом известного матричного нелинейного дифференциального уравнения типа Рик-кати в задаче фильтрации с непрерывным временем. Последовательно применяя одношаговый «предиктор» (7.4.19), легко доопределить недостающие оценки т(т), г = i + I,..., К - I в фор-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [ 63 ] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]