ван с возбуждающим случайным процессом V(i) и имеет матрицу интенсивности N(i). Обозначение «Г» здесь и везде дшюе - это знак операции транспонирования.
Далее заметим, что управление U , может формироваться на
основе использования той или иной программы наблюдений «прошлого», «настоящего» и «будущего» состояния финансового рынка. Известно [6], что самой эффективной стратегией является «стратегия замкнутого оптимального управления», которую мы и будем искать в дальнейшем в виде:
U,=i (Y/\ О </<; = / + !,....., -1 (7.4.4),
где: и = (У/)-вектор-столбец управления;
У/, О </</ = / +1,...., iV - 1 - программа «прошлых», «на-стояищх» и «будущих» наблюдений финансового рынка.
С учетом «принципа достоверной эквивалентности»[6], который справедлив для линейных динамических систем, задача оптимального стохастического управления эквивалентна задаче детерминированного оптимального управления при замене мгновенных значений вектора состояния системы его оценками, полученными с минимальной среднеквадратической ошибкой.
С учетом сказанного, вместо выражений (7.4.1) и (7.4.4) можно записать:
J = MXV(i,„,f/,)=> war(7.4.5)
и, = iff(x;), o<i<j = i+1,.....,yv-1(7.4.6),
где: X/, О </</ = / + !,.....,yv-l - вектор оценок «прошлой»,
«текущей» и «будущей» эффективности финансового рынка. Ука-
занный вектор (вектор-столбец) оценок должен быть оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки.
Введем далее систему ограничений в виде:
условия нормировки для каждого шага «i» принятия решений:
IU, = 1(7.4.7)
ограничений на управления (обязательное присутствие или отсутствие тех или иных финансовых инструментов), из которых допустимо в каждый текущий момент времени «1» формировать оптимальную инвестиционную стратегию, т. е.:
и, = и,,и е и(7.4.8)
Условие (7.4.7) является условием нормировки (где - единичный вектор-строка) и означает, что пропорциональные доли, из которых формируется оптимальная стратегия на каждом шаге управления (принятия решений), в сумме должны давать единицу.
Условие (7.4.8) дает возможность ограничить дисперсию функционала (7.4.5) за счет того, что условием формирования оптимальной инвестиционной стратегии могут выступать только определенные финансовые инструменты с ограниченным «риском», т.е. дисперсия эффективности которых ограничена.
Другой, более детализированной, но эквивалентной условию (7.4.8) формой написания ограничений на управление (JJ) может быть выражение, ограничивающее суммарный риск финансовых инструментов, присутствующих в векторе управления для каждого шага принятия решений. Это означает, что вектор управления должен выбираться для каждого шага принятия решений, исходя из выполнения дополнительного условия:
и, = [/,, и, = F(R), R, < U[KU,(7.4.9),
где: R - риск портфеля (значение квадратичной формы, т. е. скалярная величина) для каждого i- го шага принятия решений;
К - ковариационная матрица эффективности (доходности) финансового рынка. В рамках корреляционной теории случайных процессов [4,26], указанная матрица является стационарной (неизменной во времени) и имеет структуру:
(7.4.10),
где:
(7.4.11).
Таким образом, математическая модель задачи синтеза оптимальной инвестиционной стратегии, может быть представлена выражениями (7.4.2 - 7.4.11).
7.4.4. Алгоритм оптимального стохастического управления портфелем финансовых инструментов, обеспечивающий извлечение потенциально возможной прибыли
Теорема разделимости [5,6,14], справедливая для линейных динамических систем, утверждает, что задача синтеза оптимальной стратегии управления (в нашем случае - это синтез оптимальной спекулятивной стратегии) может решаться по итерационной схеме в два самостоятельных этапа: