зоваться стандартной схемой решения задачи оптимального управления [2,6,14], которая состоит в следующем:
1)должна быть определена математическая модель системы, для которой синтезируется управление (модель рыночного портфеля инвестора) в виде модели стохастической дифференциальной системь[. Мегодология построения подобной модели рассмотрена выше в разделе 7.3;
2)для прогнозирования «будущего» состояния финансового рьшка и, соответственно, искомого инвестиционного портфеля должны использоваться оптимальньЕС (по критерию минимума среднеквадратической ошибки) алгоритмы прогнозирования случайных процессов (фильтры Р. Калмана);
3)для динамической оптимизации принимаемых решений относительно «будущего» развития собыгий на финансовом рынке необходимо использовать алгоритмы динамического программирова[ШЯ Р. Беллмана.
Испо;[ьзование указанных вьп[[е компонентов, а гакже стандартной последовательности в этапах решения задачи позво]шт решать задачу извлечения потенциально возможной для финансового рынка прибьиш в рамках хорошо отработанной математической техники решения задач оптимального управления.
Результать[ динамической оптимизации принимаемых на каждом шаге решений будут представлять собой оптимальньЕЙ закон (траекторию) ynpaBJiCHHfl динамической системой. Так как в качестве динамической системы мы рассматриваем финансовый рьшок и, соответственно, формируемый из инструментов рьЕнка портфель инвестора, то найденный (синтезированный) закон управления портфелем инвестора будет одновременно являться оптимальной стратегией инвестиций.
В случае допустимости г[роведения на финансовом рьЕнке операций «продажа без покрьЕтия» (см. раздел 7.1), в указанной выше концепции алгоритма извлечения потенциально возможной при-
были принципиально ничего не меняется, за исключением разве того, что на каждом шаге принятия решений должны рассматриваться эффективности финансовых инструментов с учетом их знака. В «оптимальный» портфель на каждом шаге принятия решений в рассматриваемом случае должны включаться только финансовые инструменты с максимальной по модулю их эффективностью.
Всё сказанное выше о концепции оптимального инвестирования денег в финансовые инструменты (оптимальное управление капиталом или, что одно и то же, оптимальное управление инвестиционным портфелем) ниже более подробно рассматривается на уровне конкретных математических моделей и алгоритмов.
7.4.3. Математическая постановка задачи извлечения потенциально возможной прибыли на финансовом рынке
Математическая модель, которая используется для решения данной задачи, состоит в следующем [2].
Целевой функционал, определяющий «качество» принимаемых инвестиционных решений определим в виде:
i MjW {X ,,,и ,)(7.4.1),
1 = 0
где: М- оператор математического ожидания;
W(Xj ,U)- действительная функция, конкретный вид которой должен отражать экономический смысл решаемой задачи. Fx-ли решается задача максимизации прибыли (дохода) на вложенные средства, то указанная функция должна выражать приращение стоимости портфеля (с учетом затрат на его ротацию) на единичном интервале времени в зависимости от выбранного управления.
Под вектором управления f/, везде далее понимается величина
пропорциональных долей включаемых в портфель финансовых инструментов с учётом присутствующих в формулировке задачи ог-
раничений (см. ниже). Последовательность решений о значениях пропорциональных долей финансовых инструментов (векторов управления) f/, образует инвестиционную стратегию на интервале времени i=0,l....,N-l.
Разностное уравнение, описываюшее статистическую динамику эффективности финансового рынка («состояние» рынка), может быть записано в виде 7.3.36, т. е.:
X(i+1) =А (i)X(i)+B(i)m(i) + V(i)(7.4.2).
Уравнение капала измерений (наблюдений) можно записать в виде:
Y(i)-=Xmn(i)(7.4.3),
где приняты следующие обозначения:
X(i) - вектор эффективности или, что одно и то же, вектор состояния финансового рьшка. Координатами указанного вектора являются эффективности финансовых инструментов, обращающихся на рынке;
A[i] и B[i] -квадратные матрицы соответствующих размерностей, m[i] - вектор математического ожидания эффективностей, полученный по результатам предварительных статистических исследований (см. [1,25]); V[i] - возбуждающая случайная последовательность. При этом M[F(O]-0, M[V(i)V\m)]Qii)d Q(i) - квадратная матрица интенсивности возбуждающей случайной последовательности, при этом указанная последовательность является чисто случайной, т.е. <5 , - символ Кроне-
кера (<5 j п, =1 при i=m и <5 j =0 при im).
n(i) - шум измерений (вычислений) эффективностей обращающихся на рынке финансовых инструментов, при этом указанный шум является чисто случайным, не коррелиро-