Авто ко вариационная функция эффективности акций РАО ЕЭС
20 - | |
15 - | ...................• 1к |
10 - | |
| |
| |
-5 - | |
-10 | |
-Оценка
автоковариационной (функции по статостач. данным
-Аппроксимирующая автоковариационная (функция динамич. звена 1-го порядка
4-3-2-101234
Рис. 7.6. Автоковариационная функция эффективности акций РАО ЕЭС.
Из рисунка 7.6 легко видеть, что выражение для аппроксимирующей автоковариационной функции (динамического звена 1-го порядка) может быть представлено в виде:
К[п] = -ф}", п = 0,±1,+2.... + «)(7.3.31),
где: Dу - дисперсия эффективности (значение автоковариационной функции при нулевом сдвиге).
С учетом известных результатов теории [28] указанному выражению (7.3.31) для автоковариационной функции соответствует разностное уравнение 1-го порядка:
Х[1+\]ф,-Х[1] + ¥[1](7.3.32),
где: - переходный коэффициент, значение которого определяется как отношение автоковариационной функции при единичном сдвиге (см. рис. 7.6) к дисперсии процесса. В рассматриваемом случае в выражениях (7.3.31) и (7.3.32) ф «-0,55. Слагаемое F[/] в выражении (7.3.32) - это возбуждающая случайная последовательность «белого» шума с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной Dy = В{\-ф). Решением
разностного уравнения (7.3.32) будет случайный процесс с автоковариационной функцией вида (7.3.31).
В общем случае математическое ожидание эффективности (тренд эффективности) может являться ненулевой функцией времени. Тогда для оценивания тренда можно использовать различные низкочастотные математические фильтры, например, различные операторь[ авторегрессии-скользящего среднего, фильтры Калмана, наблюдатели Луэнбергера, Хаддля [6] и т. п. Указанные математические фильтры при специальном подборе их параметров могут обеспечить получение несмещенных текущих оценок математического ожидания (в функции времени) с минимальной сред-неквадратической ошибкой. Попутно отметим, что самую высокую точность оценивания обеспечивают фильтры Калмана.
С учетом сказанного, разностное уравнение (7.3.32) можно уточнить для случая ненулевого математического ожидания в виде:
X[i +1] = , X[i\ + (1 -,)• т,[i] + Vii](7.3.33),
где: [/] - текущая оценка математического ожидания, получаемая с помощью тех или иных низкочастотных математических фильтров, параметры которых должны быть настроень[ исходя из условия обеспечения минимума среднеквадратической ошибки оценивания.
Разностное уравнение (7.3.33) будет определять случайный процесс с ненулевым математическим ожиданием, при этом цен-трированньЕЙ (относительно математического ожидания) случайный процесс будет иметь автоковариационную функцию вида (7.3.31). На этом рассмотрение примера можно закончить.
Прежде, чем рассматривать конкретные модели для финансового рьЕнка, уточним ранее полученные в разделе 7.2.2 математические модели.
Как отмечалось нами ранее в разделе 7.2.2, в рамках корреляционной теории случайных процессов математической моделью финансового рь[нка может служить векторно-матричное дифференциальное уравнение формирующего фильтра в виде:
X = АХ + Вт у (t) + V (t) , (7.3.34),
при начальных условиях:
X=X(tJ при t=t„(7.3.35),
где: - вектор-столбец «X» размерности "Nx 1" по терминологии, принятой в теории управления динамическими системами [14], описьЕвает «состояние» динамической системы;
-матрицы «А» и «В» коэффициентов дифференциального уравнения (7.3.34) соответствующих размерностей;
-m(t)- векторная функция, соответствующая математическому ожиданию векторного случайного процесса ХС?),"
-V(t) -векторный гауссовский случайный процесс «белого» щу-ма (т. е. случайный процесс, имеющий корреляционную функцию в виде дельта-функции Дирака) с математическим ожиданием, равным нулю.
Векторно-матричное разиостное уравнение, описывающее процесс функционирования финансового рынка в дискретном времени с учётом результатов раздела 7.2.2 может быть представлено в виде:
X(i+l)=A(i)X(i)+B(i)m(i) + V(i)(7.3.36),
где: X(i) - вектор состояния(эффективности) рынка размерности (Nxl);
A(i), B(i) - квадратные матрицы размерности (NxN), m(i) - вектор математического ожидания случайного процесса X(i) размерности (Nxl);
V[i] - возбуждающая гауссовская случайная последовательность векторов размерности (Nxl), при этом М [V{i)\ -
=Q МЩ) V{rri}=Q(i)S, Q(i) - квадратная матрица интенсивности
возбуждающей случайной последовательности размерности (NxN), при этом указанная последовательность является чисто случайной,
е. S im - символ Кронекера {S j„,=l при i=m и S =0 при \Фт).