(•внсоеьй рьнсж в вцпе "формфуючэго филытяГ aeiotipwro сгучайного процесса X(t)
Рис. 7.4 Блок-схема математической модели финансового рынка в непрерывном времени.
Математическая модель финансового рынка в дискретном времени
Рассмотрим далее модели финансового рынка в дискретном времени. Для этого рассмотрим векторно-матричное дифференциальное уравнение(7.3.5).
Связь между значениями вектора состояния финансового рынка для двух следующих друг за другом моментов времени вытекает из формулы для общего решения дифференциального уравнения (7.3.5). В указанной формуле через Ф обозначена переходная матрица для матрицы/4 в уравнении (7.3.5). Для двух следующих друг за другом моментов времени будем иметь:
д..,)=ф(ж0Д0+К.р)№)ад+пг)}7 (7.3.23)
Управляющее воздействие будем считать кусочно-постоянным, т.е.:
U(t) = U(t,), t,<t<t,,,(7.3.24)
В целях упрощения обозначений примем следующее. Моменты времени будут нумероваться целыми числами "i". Таким образом,
Ф(Г,,,,Г,)ф(/ + 1,/)(7.3.25).
Положим далее
Ф(/ + 1,0 = Д0(7.3.26).
Из свойств переходной матрицы следует, что A(i) всегда не вырождена.
При кусочно-постоянном управляющем воздействии можно вынести U(ti) = U(i) из-под знака интеграла в выражении (7.3.23) и положить:
В(0 = U(t,,„T)B{T)U(T)d(T)(7.3.27).
Дискретный аналог возбуждающего случайного процесса в правой части дифференциального уравнения (7.3.5) может быть получен, если положить:
V(i)= ф(/,„,г)Р(г)(г)(7.3.28).
Из полученных соотношений (7.3.23-7.3.28) вытекает дискретный вариант непрерывной модели финансового рынка в виде:
X(i+l)=A(i)X(i)+B(i)U(i) +V(i)(7.3.29).
Выражение (7.3.29) является разностным уравнением формирующего фильтра и является дискретным аналогом дифференциального уравнения (7.3.5). Это уравнение описывает процесс функционирования финансового рынка в дискретном времени.
7.3.3. Синтез конкретных моделей финансового рынка
При построении математической модели финансового рынка [1] будем полагать что:
-процесс функционирования финансового рынка целиком определяется через обращающиеся на рынке базовые активы (ценные бумаги и основные мировые валюты);
-осуществляется регулярная котировка курсов всех инструментов финансового рынка и обеспечена 100 % ликвидность соответствующих финансовых инструментов;
-изменения курсов (котировок) базовых финансовых инструментов при их рассмотрении в функции времени являются реализациями случайных процессов (случайных последовательностей).
Если рассматривать множество обращающихся на финансовом рынке инструментов, каждый из которых представлен собственным случайным процессом, то результирующий процесс, характеризующий рынок в целом, будет векторным. В указанной ситуации координатами этого векторного процесса будут являться локальные случайные процессы котировок отдельных финансовых инструментов.
Подобный подход открывает путь построения статистической модели финансового рынка и последующего использования математических методов теории оптимального управления для синтеза оптимальных стратегий инвестирования и биржевых спекуляций.
Отметим, что при построении соответствующих моделей в рамках рассматриваемой нами статистической концепции функционирования рынка, мы не будем делать различий между спотовым и