назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


54

-вектор X размерности (Nxl) по терминологии, принятой в теории управления динамическими системами[14], описывает «состояние» динамической системы и в этом смысле может быть назван вектором состояния финансового рынка:

-матрица коэффициентов А дифференциального уравнения (7.3.5) имеет размерность (NxN);

-матрица коэффициентов В имеет размерность (NxN), и её структура и значения коэффициентов выбираются таким образом, чтобы обеспечить условие астатизма воспроизведения векторной функции Ан.(0;

m{t)- векторная функция, соответствующая математическому

ожиданию векторного случайного процессаХ(/У;

V(t) - векторный случайный процесс белого шума (т. е. некоррелированный случайный процесс, имеющий корреляционную функцию в виде дельта-функции Дирака) с математическим ожиданием, равным нулю.

Известно [4,14,26], что векторное дифференциальное уравнения типа (7.3.5) эквивалентно системе скалярных дифференциальных уравнений. Применительно к обращению на рынке М финансовых инструментов соответствующее векторное дифференциальное уравнение можно представить в виде системы дифференциальных уравнений:

at k=i при начальных условиях:

,j,k = ,,j,kOo) npHt=t,(7.3.7),

где:



i=l,...,M - порядковый номер финансового инструмента, обра-i щающегося на финансовом рынке;

j=l,...,L -порядковый номер производной соответствующего случайного процесса;

N=M+L;

i J к случайный процесс, например, случайное значение текущей доходности i-ro финансового инструмента или же значение его j-й производной;

Из выражения (7.3.6) видно, что каждый i-й финансовый инструмент описывается системой, состоящей из j дифференциальных уравнений 1-го порядка. Это объясняется тем, что фактически каждому i-му финансовому инструменту соответствует дифференциальное уравнение формирующего фильтра порядка L. Вместе с тем в канонической форме Коши дифференциальное уравнение порядка L может быть представлено как система, состоящая из L дифференциальных уравнений первого порядка. С учетом того, что общее число обращающихся на рынке финансовых инструментов мы приняли равным М, общая размерностьсистемы (7.3.6) равна N=M+L.

Дифференциальное уравнение вида (7.3.5) и соответствующая ему система (7.3.6), с учетом того факта, что в правой части указанных уравнений присутствует случайный процесс белого шума, называются стохастическими дифференциальными уравнения-ми[4].

Известно[3,14], что решение матричного дифференциального уравнения (7.3.5) с правой частью будет иметь вид:

(7.3.8),



где е » - фундаментальная матрица решений дифференциального уравнения (7.3.5) в виде матричной экспоненты.

Переходя к математическим ожиданиям и учитьшая, что математическое ожидание белого шума равно нулю, формула для вычисления математического ожидания векторного случайного процесса X(t), являющегося решением дифференциального уравнения (7.3.5), будет иметь вид:

nit)

=е nit)+]e-B-m (rydr(7.3.9).

Применительно к математическому ожиданию этот результат почти очевиден, т. к. по условию в правой части дифференциального уравнения (7.3.5) фигурирует математическое ожидание процесса Х(1). Однако существенно большие трудности возникают при вычислении ковариационной функции случайного процесс X(tJ через выражение (7.3.8), определяющее решение дифференциального уравнения (7.3.5). Все сложности начинаются с того, что в этом случае необходимо знать фундаментальное решение дифференциального уравнения (7.3.5) без правой части, т. е. необходимо знать фундаментальное решение однородного дифференциального уравнения вида:

X = АХ(7.3.10)

при начальных условиях

X=X(tJ при tt(7.3.11).

В общем случае найти фундаментальное решение уравнения (7.3.10) достаточно трудно. Поэтому, в рамках корреляционной теории для нахождения моментов первого и второго порядка (указанный подход можно распространить для моментов любого по-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]