уравнения 7.3.4, а СГд - дисперсия выходного случайного процесса ХЦ).
Для линейных дифференциальных (разностных) уравнений более высокого порядка (выше 2 - го), аналитические связи между коэффициентами дифференциальных (разностных) уравнений и структурой и параметрами корреляционных функций будут более сложными. Однако современная теория[4] также позволяет установить указанные зависимости.
Отметим далее, что дифференциальные (разностные) уравнения, возбуждаемые на входе (т. е. в правой части) случайными процессами типа белого шума и генерирующие на выходе статистически окрашенный случайный процесс, являющийся решением указанных уравнений, называются ФОРМИРУЮЩИМИ ФИЛЬТ-РАМИ[4,5].
В концептустьиом плане пачичие однозначного соответствия между дифференциачьными (разностными) уравнениями с одной стороны, и статистическими свойствами генерируемых тш случайных процессов - с другой стороны, является чрезвычайно важным.
Указанное соответствие открывает путь построения моде.чи функционирования финансового рынка, как стохастической дифференциальной системы. Математической .моделью подобной системы могут служить формирующие фильтры в виде дифференциальные и разностных уравнений.
С математической точки зрения модели функцио1шрования финансового рьшка (формирующие фильтры) и модели технических динамических систем (дифференциальные уравнения) будут совершенно одинаковыми по своей форме.
Именно это последнее обстоятельство позволяет распространить для финансового рьшка мощные математические методы оптимального управления, развитые применительно к техническим динамическим системам.
7.3.2. Математические модели финансового рынка в виде дифференциальных и разностных уравнений
Известно [8,9,10,15], что процесс функционирования финансового рынка имеет выраженную статистическую природу. В силу этого возможно проведение статистических исследований рынка, например, в рамках корреляционной теории случайных процессов.
Корреляционная теория случайных процессов[26] позволяет описывать статистические свойства процессов с помощью момент-ных характеристик, главными из которых (применительно к скалярным случайным процессам) являются начальный момент 1-го порядка - математическое ожидание, центральный момент 2-го порядка - дисперсия, автоковариационная функция случайного процесса и взаимно-ковариационная функция между различными скалярными процессами. В случае гауссовского закона распределения случайного процесса указанные моментные характеристики полностью определяют его вероятностные свойства. Важность корреляционной теории состоит также в том, что все случайные процессы с той или иной степенью точности могут быть аппроксимированы через гауссовские процессы[4,14] и, следовательно, выводы корреляционной теории будут справедливы для любых случайных процессов.
Таким образом, путь построения математических моделей случайных процессов, с которыми отождествляется статистическая динамика финансового рынка, может состоять в следующем:
-любыми известными статистическими методами необходимо получить оценки математических ожиданий, автоковариационных и взаимно-ковариационных функций для всех (или же наиболее значимых) инструментов финансового рынка;
-построить дифференциальные (разностные) уравнения, т.е. формирующие фильтры, генерирующие случайные процессы в соответствии с пол>"теннь!ми оценками ковариационных функций.
Примечание. Теория и практика статистического исследования временных рядов[28] показывает, что для построения их моделей достаточно ограничиться дифференциальными (разностными) уравнениями формирующих фильгров не выше 2-го порядка. Это означает, что определяются оценки корреляционных функций исследуемых случайных процессов, имеющих структуру типа (7.3.2, 7.3.4).
С учётом того, что поведение финансового рынка в динамике может быть описано с помощью дифференциальных (для дискретного времени - разностных) уравнений формирующих фильгров, возбуждаемых в правой части случайными процессами зинабелого шума, приходим к тому, что модель финансового рынка в точности соответствует понятию стохастической дифференциальной системы[4].
Далее мы будем рассматривать только автономные стохастические дифференциальные системы, т. е. системы, коэффициенты дифференциальных (разностных) уравнений которых не зависят от времени.
Математическая модель финансового рынка в непрерывном времени
Математическая модель финансового рынка может быть представлена в виде векторно-матричного дифференциального уравнения вида:
X = АХ + В т,.(() + У(1)(7.3.5),
которое может быть решено при начальном условии:
А-Д/„)при
где: