7.3.1. Связь между дифференциальными (разностными) уравнениями и корреляционными функциями случайных процессов

Для того, чтобы опираться на математические методы теории оптимального управления динамическими системами, надо предварительно показать концептуальную тождественность постановок задач оптимального управления применительно к финансовым и техническим системам. Предварительно покажем, что процессы функционирования таких динамических систем как летательные аппараты, с одной стороны и процессы функционирования финансового рынка, можно адекватно описывать с помощью одних и тех же математических моделей.

Как было отмечено выше, в постановках задач оптимизации для финансового рынка главным пунктом исходных предположений являлось то, что курсы обращающихся на финансовом рынке инструментов (в функции времени) являются реализациями случайных функций (для дискретного времени - случайных последовательностей). Это утверждение, с нашей точки зрения, не может вызвать особых сомнений, так как имеется множество работ [8,9,10,15], подтверждающих указанный фак1\ С другой стороны, применительно к задаче оптимального управления динамическими системами (например, всевозможными подвижными объектами) в качестве исходных данных для оптимизации должны быть заданы дифференциальные (для дискретного времени - разностные) уравнения для описания динамики объекта (системы).

Для доказательства возможности использования одинаковых математических моделей необходимо показать, каким образом для описания случайных процессов функционирования финансового рынка можно использовать дифференциальные (разностные) уравнения.

Возможность подобного описания применительно к финансовому рынку вытекает из следующих рассуждений.

Рассмотрим предварительно в концептуальном плане дифференциальные (для дискретного времени - разностные) уравнения,

описывающие динамику изменения состояния подвижного объекта. Чго конкретно они могут описывать? Они могут описывать! 14] динамику ищенения угловых и/или траекторных координат как реакцию на возмущающие или управляющие воздействия в правой части соответствующих уравнений. Значение координат подвижного объекта на траектории ОБЪЕКТИВНО является случайным процессом (случайной функцией времени)[13,14]. Этот факт учитывается в математических моделях подвижных объектов в виде задания случайных функций времени (по физическому смыслу это фаекторные возмущения и/или управления) в правой части соответствующих дифференциальных (разностных) уравнений динамики. Решением указанных дифференциальных уравнений с правой частью являются случайные процессы изменения координат подвижного объекта на траектории.

Татем образом, дифференциальные (разностные) уравнения являются математическими моделями динамических систем и их решения описывают СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.

В рамках корреляционной теории случайных процессов[26] и применительно к линейным дифференциальным (разностным) уравнениям, УСТАНОВЛЕНЫ СВЯЗИ между структурой, порядком и коэффициентами дифференциальных (разностных) уравнений, в правой части которых присутствует случайный процесс белого шума - с одной стороны, и структурой и параметрами КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ решений указанных уравнений - с другой стороны. Например, дифференциальные уравнения 1- го и 2 - го порядка, описывают случайные процессы с корреляционными функциями следующих видов[25]:

Дифференциальное уравнение 1 -го порядка:

X а X = VU)(7.3.1)

описывает случайный процесс с корреляционной функцией ви-

где:

(7.3.2),

ист, - является дисперсией возбуждающего случайного процесса типа белого шума.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка вида:

--2h-+ к-Х = V(t)

dtdt

(7.3.3)

в зависимости от корней своего характеристического уравнения имеет различные типы корреляционных функций своих решений. Например, в случае комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения соответствующая корреляционная функция решения дифференциального уравнения (7.3.3) будет иметь вид:

К{т ) = o-jj-exp(-/3r)-(cos/? r+-~-sin/? г) (7.3.4), где учтены обозначения -h - ft (прик>Ь)и

IV • а:

2 2~" "Р* этом (Ту - дисперсия возбуждающего 2/г(/? + h )

процесса типа белого шума в правой части дифференциального