назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [ 49 ] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


49

где - V фиксированный положительный параметр. Пределом целевой функции (первое выражение в 7.2.15) при N, стремящимся к бесконечности, и V, стремящимся к нулю, при фиксированной величине = -t), является целевой функционал вида 7.2.8, т.е.:

lim J = J(7.2.16).

N -> 00 , V -> о N V = (t , - (о )

При переходе к пределу разностные уравнения (второе выражение в 7.2.15) превращаются в дифференциальные уравнения типа (7.2.9), а целевая функция со знаком суммирования (первое выражение в 7.2.15) превращается в интегральный целевой функционал вида (7.2.8).

Таким образом, задачу управления МОЖНО СЧИТАТЬ задачей математического программирования (оптимизации) в бесконечномерном пространстве. Этим пространством является множество всех кусочно-непрерывных вещественных функций U(t), определенных на промежутке /д <t.

С учетом сказанного, решение задач управления являются ничем иным, как динамической оптимизацией, обеспечивающей получение решения не в точке, а на множестве точек на интервале tf<t <t, т. е. решением указанной задачи является функция времени U(t).

7.2.4. Оптимальное управление динамической системой с использованием обратной связи

При рассмотрении соответствующих моделей мы будем сразу же рассматривать параллели применительно к финансовому рынку. Как отмечалось выше, в. задаче оптимального программного управления, или же оптимального управления по разомкнутому контуру, никак не используется информация о текущем состоянии динамической системы. В то же время на финансовом рынке и, в



частности, в таких его секторах, как рынок ценных бумаг, валютный и кредитно-депозитный рынки, регулярно присутствует текущая информация о котировках курсов ценных бумаг и валют, а также банковские кредитно-депозитные ставки. Естественным является желание при принятии оперативных решений (т.е. в процессе текущего управления портфелем финансовых инструментов) использовать указанную информацию для достижения в некотором смысле «наилучших» результатов. Интуитивно понятно, а в теории оптимального управления[6,14] это показано на математическом уровне, что использование указанной информации позволяет достигать более высокого «качества» управления с точки зрения «глубины» экстремума функционала типа (7.2.1). В теории управления, применительно к техническим объектам, под обратной связью понимается информация, поступающая в систему управления по каналам измерений. В указанной измерительной информации объективно присутствуют «шумы» (т. е. ошибки) измерений. Задача системы управления состоит в том, чтобы наилучшим (в некотором математическом смысле) образом обработать указанную информацию в целях получения «оптимальных» (в определенном математическом смысле) оценок X{t) текущего (на момент принятия решений) состояния системы. Далее задачей системы управления является выработка управляющих воздействий на систему с учетом информации о текущем состоянии системы X{t).

Финансовый рынок является полной концептуальной аналогией технических управляемых систем. Под каналом измерений применительно к финансовому рынку можно понимать текущую информацию о котировках курсов ценных бумаг, валют и т. д. Для принятия оптимальных управляющих решений, возможно, потребуется привлекать дополнительную информацию о первой и второй производной случайных процессов изменения курсов финансовых инструментов. Первая производная случайного процесса является также случайным процессом, характеризующим «скорость» изменения курсовой динамики, а вторая производная также является случайным процессом, характеризующим «ускорение» курсовой динамики. Эта дополнительная информация объективно отсутст-



вует (непосредственно не наблюдаема) и её можно получить только расчётным путем за счёт численного дифференцирования случайных процессов изменения курсов. В процессе численного дифференцирования объективно возникают случайные ошибки («шумы»). По аналогии с задачей управления техническими системами текущую информацию по финансовому рьшку, «засоренную» шумами, необходимо каким-то наилучшим образом обработать с целью получения наиболее достоверных оценок X(t) состояния финансового рьшка. Далее задачей системы управления портфелем финансовых инсгрументов будет являться выработка управляющих воздействий в виде выбора пропорциональных долей входящих в портфель финансовых инструментов, исходя из обеспечения экстремума функционала, определяющего «качество» управления.

В обобщённом виде задачу оптимального управления динамической системой с использованием обратной связи можно сформулировать в следующем виде[6,]4]:

Требуется найти оптимальную траекторию управления динамической системой, исходя из условия обеспечения экстремума целевого функционала:

J = \l{X ,и ,t)dt + F (X ,,t,) extremum(7.2.17)

при условии описания динамики системы в виде векторно-матричного дифференциального уравнения вида:

X = f[X ,и (X(t)), t](7.2.18)

начальных условиях:

t„ X(t,)X,(7.2.19)

и ограничениях на управление в виде: 156

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [ 49 ] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]