где - V фиксированный положительный параметр. Пределом целевой функции (первое выражение в 7.2.15) при N, стремящимся к бесконечности, и V, стремящимся к нулю, при фиксированной величине = -t), является целевой функционал вида 7.2.8, т.е.:
lim J = J(7.2.16).
N -> 00 , V -> о N V = (t , - (о )
При переходе к пределу разностные уравнения (второе выражение в 7.2.15) превращаются в дифференциальные уравнения типа (7.2.9), а целевая функция со знаком суммирования (первое выражение в 7.2.15) превращается в интегральный целевой функционал вида (7.2.8).
Таким образом, задачу управления МОЖНО СЧИТАТЬ задачей математического программирования (оптимизации) в бесконечномерном пространстве. Этим пространством является множество всех кусочно-непрерывных вещественных функций U(t), определенных на промежутке /д <t.
С учетом сказанного, решение задач управления являются ничем иным, как динамической оптимизацией, обеспечивающей получение решения не в точке, а на множестве точек на интервале tf<t <t, т. е. решением указанной задачи является функция времени U(t).
7.2.4. Оптимальное управление динамической системой с использованием обратной связи
При рассмотрении соответствующих моделей мы будем сразу же рассматривать параллели применительно к финансовому рынку. Как отмечалось выше, в. задаче оптимального программного управления, или же оптимального управления по разомкнутому контуру, никак не используется информация о текущем состоянии динамической системы. В то же время на финансовом рынке и, в
частности, в таких его секторах, как рынок ценных бумаг, валютный и кредитно-депозитный рынки, регулярно присутствует текущая информация о котировках курсов ценных бумаг и валют, а также банковские кредитно-депозитные ставки. Естественным является желание при принятии оперативных решений (т.е. в процессе текущего управления портфелем финансовых инструментов) использовать указанную информацию для достижения в некотором смысле «наилучших» результатов. Интуитивно понятно, а в теории оптимального управления[6,14] это показано на математическом уровне, что использование указанной информации позволяет достигать более высокого «качества» управления с точки зрения «глубины» экстремума функционала типа (7.2.1). В теории управления, применительно к техническим объектам, под обратной связью понимается информация, поступающая в систему управления по каналам измерений. В указанной измерительной информации объективно присутствуют «шумы» (т. е. ошибки) измерений. Задача системы управления состоит в том, чтобы наилучшим (в некотором математическом смысле) образом обработать указанную информацию в целях получения «оптимальных» (в определенном математическом смысле) оценок X{t) текущего (на момент принятия решений) состояния системы. Далее задачей системы управления является выработка управляющих воздействий на систему с учетом информации о текущем состоянии системы X{t).
Финансовый рынок является полной концептуальной аналогией технических управляемых систем. Под каналом измерений применительно к финансовому рынку можно понимать текущую информацию о котировках курсов ценных бумаг, валют и т. д. Для принятия оптимальных управляющих решений, возможно, потребуется привлекать дополнительную информацию о первой и второй производной случайных процессов изменения курсов финансовых инструментов. Первая производная случайного процесса является также случайным процессом, характеризующим «скорость» изменения курсовой динамики, а вторая производная также является случайным процессом, характеризующим «ускорение» курсовой динамики. Эта дополнительная информация объективно отсутст-
вует (непосредственно не наблюдаема) и её можно получить только расчётным путем за счёт численного дифференцирования случайных процессов изменения курсов. В процессе численного дифференцирования объективно возникают случайные ошибки («шумы»). По аналогии с задачей управления техническими системами текущую информацию по финансовому рьшку, «засоренную» шумами, необходимо каким-то наилучшим образом обработать с целью получения наиболее достоверных оценок X(t) состояния финансового рьшка. Далее задачей системы управления портфелем финансовых инсгрументов будет являться выработка управляющих воздействий в виде выбора пропорциональных долей входящих в портфель финансовых инструментов, исходя из обеспечения экстремума функционала, определяющего «качество» управления.
В обобщённом виде задачу оптимального управления динамической системой с использованием обратной связи можно сформулировать в следующем виде[6,]4]:
Требуется найти оптимальную траекторию управления динамической системой, исходя из условия обеспечения экстремума целевого функционала:
J = \l{X ,и ,t)dt + F (X ,,t,) extremum(7.2.17)
при условии описания динамики системы в виде векторно-матричного дифференциального уравнения вида:
X = f[X ,и (X(t)), t](7.2.18)
начальных условиях:
t„ X(t,)X,(7.2.19)
и ограничениях на управление в виде: 156