Г(, - вектор-столбец эффективности вложений в безрисковые ценные бумаги;
Xq- вектор-столбец, состоящий из долей капитала, вкладываемого в безрисковые ценные бумаги.
Д. Тобиным показано, что задача оптимизации 6.4.31 - 6.4.34 решается проще, чем задача оптимизации чисто рискового портфеля. Для комбинированного портфеля, состоящего из рискованных и безрисковых ценных бумаг, решение может быть получено в аналитической форме с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа.
Последовательность решения задачи состоит в том, что первично необходимо задаться соотношением рисковой и безрисковой частей портфеля, а затем уже для выбранного соотношения определяется оптимальная структура рискованной части портфеля.
в) Логарифмическая стратегия Келли для оптимизации портфеля ценных бумаг
В указанном методе в качестве критерия оптимальности портфеля выбраны средние темпы роста будущей доходности вложений. Под будущей доходностью портфеля понимается отношение его стоимости через время / к его начальной стоимости. Обозначим через Sg - начальную стоимость портфеля, а через S, - стоимость портфеля через время /. Обозначим через коэффициенты, характеризующие доходность, при этом - доходность безрискового вложения. Если /=1, то i - й финансовый инструмент не приносит прибыли, если Р <0, то финансовый инструмент является убыточным и если Р;>0, то финансовый инструмент является прибыльным.
С учетом этого, постановку задачи оптимизации портфеля с использованием стратегии Келли можно представить в виде[19]:
2jr,=l(6.4.35)
S, =S,(Po+Y,XrS,) max(6.4.36),
где 5; = - Pq. Обозначив через Z = S, / Sq, целевую функцию 6.4.36 в рамках логарифмической стратегии оптимизации Келли можно переписать в виде:
Z = 1п(Ро + X • ) = max(6.4.37).
Существует также ряд преимуществ стратегии Келли перед другими стратегиями оптимизации. В частности, стратегия Келли оптимальна в том смысле, что время достижения любого заранее заданного уровня доходности портфеля при её использовании минимально. Другое преимущество стратегии Келли по сравнению со стратегией Г.Марковица состоит в том, что в ней используется стохастическое прогнозирование будущей доходности портфеля.
6.4.6. Основные рекомендации по формированию портфеля ценных бумаг в рамках «классической» теории оптимального портфеля»
Как отмечалось выше, современный технический анализ рынка ценных бумаг базируется на рассмотрении количественных характеристик ценных бумаг и портфеля ценных бумаг в рамках использования статистической методологии. С учетом этого, основные рекомендации по формированию портфеля ценных бумаг могут быть «качественными» и «количественными». Качественные рекомендации можно свести к следующим:
1. Для того чтобы сформировать в некотором смысле «оптимальный» портфель ценных бумаг, требуется предварительное ис-
следование статистических свойств ценных бумаг и общей структуры рынка. На основе указанной информации уже можно сформулировать «качественные» рекомендации по наполнению портфеля ценных бумаг, а именно:
-если портфель сформировать из взаимно-некоррелированных ценных бумаг, то при расширении их номенклатуры риск портфеля будет асимптотически стремиться к нулю (см. раздел 6.4.4);
-если портфель сформировать из ценных бумаг, находящихся в обратной корреляции друг с другом, то «риск» портфеля может быть сведен к нулю (см. раздел 6.4.4);
-если структуру портфеля ценных бумаг выбрать аналогичной структуре рынка (то есть в пропорциональных долях присутствующих на рынке ценных бумаг), то в соответствии с теоретической моделью «модель ценообразования на рьшке капиталовложений» (Capital Asset Princing Model, CAPM[8]) такой портфель будет обладать свойствами оптимального портфеля. В соответствии с моделью САРМ, в портфель ценных бумаг необходимо включать «недооцененные» рынком ценные бумаги.
2. Если инвестор ставит перед собой цель сформировать «оптимальный» в некотором смысле портфель на базе использования количественных (математических) методов, то все рекомендации по формированию подобного портфеля будут вытекать из решения задач оптимизации. Основные постановки подобных задач нами были рассмотрены ранее в разделе 6.4.5.
Подводя итог сказанному, можно констатировать, что современное состояние «теории оптимального портфеля» целиком базируется на методологии оптимизации. Известно [12], что все задачи оптимизации являются лишь частным случаем более общих задач, рассматриваемых в теории управления.
В последующих разделах книги планомерно рассматривается использование методов теории управления для повышения эффективности инвестиционной (спекулятивной) деятельности на финансовом рынке.