ное значение ковариации эффективности портфеля («риска») и при условии обеспечения заданного значения эффективности портфеля в целом. В векторно-матричных обозначениях задача оптимизации портфеля ценных бумаг имеет вид:
F = XVX->mm(6.4.27),
где (6.4.27) - это оптимизируемая целевая функция, а выражение:
тХ = т,,(6.4.28)
задает требуемое значение уровня эффективности портфеля ценных бумаг. Выражение:
fX = I(6.4.29)
является условием нормировки искомых переменных X , поскольку они являются долями от единицы и в сумме должны составлять единицу.
В выражениях (6.4.27-6.4.29) приняты следующие обозначения:
V -[Vj]- матрица ковариации эффективностей ценных бумаг размерности NxN;
т = [rrij ] - вектор-столбец ожидаемой эффективности (математического ожидания), координатами которого являются эффективности финансовых инструментов;
/[1] - единичный вектор-столбец;
X = [Xj ] - вектор-столбец неизвестных (искомых) пропорциональных долей вложения в те или иные ценные бумаги;
Знаком Т здесь и везде далее по тексту обозначена операция транспонирования.
в указанном виде задача оптимизации (6.4.27-6.4.29) может быть решена, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа[12]. Указанный приём позволяет свести задачу на условный экстремум целевой функции (6.4.27), при ограничениях (6.4.28-6.4.29), к задаче на безусловный экстремум. Однако, в этом случае некоторые из искомых переменных могуг оказаться отрицательными, что означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги j-ro вида в количестве X, т.е. провести операцию «продажа без покрытия». Если взятие в долг ценных бумаг невозможно, то дополнительно к условиям задачи (6.4.27-6.4.29) необходимо добавить условие неотрицательности искомых переменных, то есть:
Xj > О(6.4.30)
для Bcexj.
В этом случае задача оптимизации (6.4.27 - 6.4.30) может быть решена методами нелинейного программирования [27].
Из постановки задачи оптимизации в виде (6.4.27 - 6.4.30) очевидны следующие качественные результаты:
-предельная ожидаемая эффективность портфеля ценных бумаг не может превысить эффективности ценной бумаги, имеющей максимальное значение. Если в выражении (6.4.28) задан уровень эффективности больше предельного (максимального) значения эффективности ценных бумаг, то задача не имеет решения;
-если заданное значение уровня эффективности портфеля в выражении (6.4.28) равно самому большему значению, которое, допустим, имеет j-й вид ценных бумаг, то в оптимальный портфель будет входить только j-й вид ценных бумаг;
-пусть уровни эффективности всех имеющихся на рынке ценных бумаг проранжированы в порядке их убывания. Тогда, если заданное значение уровня эффективности портфеля в выражении (6.4.28) больше или равно эффективности второго по величине члена проранжированного по эффективностям ряда, то в опти-
мальный портфель будет входить не более двух ценных бумаг с наибольшими значениями эффективности. Пропорциональное соотношение между этими двумя видами ценных бумаг будут выбираться исходя из минимума значения целевой функции (6.4.27) и так далее.
б) Задача оптимизации портфеля, составленного из рисковых и безрисковых ценных бумаг
Формальная постановка задачи оптимизации смешанного портфеля ценных бумаг имеет вид:
Целевая функция:
Vp=XVXxmn(6.4.31).
Ограничение, задающее требуемый уровень эффективности портфеля:
тХ + г1Х(,=тр(6.4.32). Условие нормировки:
lX + Xo=I(6.4.33).
Условие неотрицательности искомых переменных:
Xj > О(6.4.34).
В выражениях (6.4.31-6.4.34) приняты точно такие же обозначения, как и в постановке задачи оптимизации рискованного портфеля (см. выше), а также приняты дополнительно обозначения: