назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


42

ное значение ковариации эффективности портфеля («риска») и при условии обеспечения заданного значения эффективности портфеля в целом. В векторно-матричных обозначениях задача оптимизации портфеля ценных бумаг имеет вид:

F = XVX->mm(6.4.27),

где (6.4.27) - это оптимизируемая целевая функция, а выражение:

тХ = т,,(6.4.28)

задает требуемое значение уровня эффективности портфеля ценных бумаг. Выражение:

fX = I(6.4.29)

является условием нормировки искомых переменных X , поскольку они являются долями от единицы и в сумме должны составлять единицу.

В выражениях (6.4.27-6.4.29) приняты следующие обозначения:

V -[Vj]- матрица ковариации эффективностей ценных бумаг размерности NxN;

т = [rrij ] - вектор-столбец ожидаемой эффективности (математического ожидания), координатами которого являются эффективности финансовых инструментов;

/[1] - единичный вектор-столбец;

X = [Xj ] - вектор-столбец неизвестных (искомых) пропорциональных долей вложения в те или иные ценные бумаги;

Знаком Т здесь и везде далее по тексту обозначена операция транспонирования.



в указанном виде задача оптимизации (6.4.27-6.4.29) может быть решена, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа[12]. Указанный приём позволяет свести задачу на условный экстремум целевой функции (6.4.27), при ограничениях (6.4.28-6.4.29), к задаче на безусловный экстремум. Однако, в этом случае некоторые из искомых переменных могуг оказаться отрицательными, что означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги j-ro вида в количестве X, т.е. провести операцию «продажа без покрытия». Если взятие в долг ценных бумаг невозможно, то дополнительно к условиям задачи (6.4.27-6.4.29) необходимо добавить условие неотрицательности искомых переменных, то есть:

Xj > О(6.4.30)

для Bcexj.

В этом случае задача оптимизации (6.4.27 - 6.4.30) может быть решена методами нелинейного программирования [27].

Из постановки задачи оптимизации в виде (6.4.27 - 6.4.30) очевидны следующие качественные результаты:

-предельная ожидаемая эффективность портфеля ценных бумаг не может превысить эффективности ценной бумаги, имеющей максимальное значение. Если в выражении (6.4.28) задан уровень эффективности больше предельного (максимального) значения эффективности ценных бумаг, то задача не имеет решения;

-если заданное значение уровня эффективности портфеля в выражении (6.4.28) равно самому большему значению, которое, допустим, имеет j-й вид ценных бумаг, то в оптимальный портфель будет входить только j-й вид ценных бумаг;

-пусть уровни эффективности всех имеющихся на рынке ценных бумаг проранжированы в порядке их убывания. Тогда, если заданное значение уровня эффективности портфеля в выражении (6.4.28) больше или равно эффективности второго по величине члена проранжированного по эффективностям ряда, то в опти-



мальный портфель будет входить не более двух ценных бумаг с наибольшими значениями эффективности. Пропорциональное соотношение между этими двумя видами ценных бумаг будут выбираться исходя из минимума значения целевой функции (6.4.27) и так далее.

б) Задача оптимизации портфеля, составленного из рисковых и безрисковых ценных бумаг

Формальная постановка задачи оптимизации смешанного портфеля ценных бумаг имеет вид:

Целевая функция:

Vp=XVXxmn(6.4.31).

Ограничение, задающее требуемый уровень эффективности портфеля:

тХ + г1Х(,=тр(6.4.32). Условие нормировки:

lX + Xo=I(6.4.33).

Условие неотрицательности искомых переменных:

Xj > О(6.4.34).

В выражениях (6.4.31-6.4.34) приняты точно такие же обозначения, как и в постановке задачи оптимизации рискованного портфеля (см. выше), а также приняты дополнительно обозначения:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]