.=ЁЁ(Г,)-(о-,-Х)-А,(6.4.21).
/=1 ;=1
Рассмотрим далее случай положительной корреляции, когда /7, = 1. Тогда, с учетом (6.4.21), выражение для риска портфеля можно записать в виде:
/=1 ]=\
(6.4.22).
Рассмотрим далее эффективность простой диверсификации ценных бумаг в портфеле в условиях прямой положительной корреляции между ценными бумагами. Будем считать, что первичные средства распределены в равных долях, т. е. X, = \1 п. Тогда, с
учетом (6.4.22), выражения для дисперсии эффективности (риска) портфеля и его среднеквадратического отклонения будут иметь вид:
\ f " (
VW J Км
1 >Г
(6.4.23)
(6.4.24)
Если обозначить сг = max сГ; о; = min сг, то при всех «п»:
сг сг -й а - Р
(6.4.25).
При полной (то есть единичной) положительной корреляции между ценными бумагами диверсификация портфеля не даёт положительного эффекта. В этом случае, в соответствии с выражением (6.4.25), среднеквадратическое отклонение эффективности (то есть среднеквадратическое значение «риска») портфеля просто равно среднему риску от отдельных вложений и не стремится к нулю с увеличением числа ценных бумаг. По содержательному смыслу положительная корреляция имеет место, когда движение курсов ценных бумаг определяется действием одного и того же фактора, и это действие проявляется в движении курсов в одну и туже сторону.
в) Отрицательная взаимная корреляция между ценными бумагами, входящими в портфель
Для уяснения сути вопроса рассмотрим случай полной обратной корреляции между ценными бумагами, входящими в портфель, то есть когда коэффициент корреляции р. = -1 при (/ j). Далее
ограничимся рассмотрением случая 2-х ценных бумаг, который без труда можно обобщить на любое число ценных бумаг, включаемых в портфель.
С учетом формулы (6.4.21), будем иметь:
ы м(6.4.26).
= (7X1 -l-OjX - 2cX<j2X2 ={<JX - сГзЛз)
Если обозначить
Х2 = - • X,, ТО риск портфеля = 0.
Это означает, что в случае полной обратной корреляции между ценными бумагами, входящими в портфель, можно выбрать такие
пропорции между ними, что риск портфеля будет полностью отсутствовать.
По содержательному смыслу полная обратная корреляция между ценными бумагами, входящими в портфель, означает, что движение их курсов осуществляется в противоположных направлениях.
На практике наиболее реальными являются ситуации, когда нет полной прямой или же обратной корреляции между ценными бумагами, однако разумная диверсификация портфеля может привести к снижению риска портфеля без потери его эффективности.
6.4.5. Классические постановки задач оптимизации портфеля ценных бумаг
Ниже приведены [7,8] классические постановки и качественные результаты, следующие из решения задач формирования оптимального портфеля, составленного из рискованных ценных бумаг, смеси рискованных и безрисковых ценных бумаг. Первый тип задач впервые рассматривался Г. Марковицем, а второй тип Д. Тоби-ным.
Кроме того, кратко рассмотрена стратегия формирования портфеля, называемая логарифмической стратегией Келли[19].
а) Задача формированш оптимального портфеля, составленного только из рискованных ценных бумаг
С учетом терминологии (см. выше раздел 6.4.3), определяющей количественные характеристики портфеля ценных бумаг в виде математического ожидания эффективности портфеля (6.4.9) и дисперсии эффективности портфеля(6.4.12), формулировка задачи оптимизации портфеля выглядит следующим образом.
Пусть - доля от вложения капитала, приходящаяся на]-й вид
ценных бумаг. Требуется найти доли X, соответствующих вложений в те или иные ценные бумаги, обеспечив при этом минималь-