V=mp-Mf =11, XjEiiR,-M,).{R -M)) =
(6.4.11),
,=1 >=i
где величины:
V,j=E{{R,-M,)-{R-M)}
являются ковариациями случайных величин Rj и Л,, а также учтено, что = Xj для всех / = j. Очевидно, что при i = j
т.е. Vjj является дисперсией эффективности j-й ценной бумаги.
6.4.4. Свойства портфеля ценных бумаг
Свойства портфеля ценных бумаг ниже иллюстрируются в зависимости от отсутствия или же наличия корреляции между ценными бумагами, входящими в портфель.
а) Отсутствие корреляции между ценными бумагами, входящими в портфель
Предположим, что эффекты от различных видов ценных бумаг, входящих в портфель, взаимно независимы, что математически эквивалентно отсутствию корреляции между ценными бумагами, то есть Vj = О при / = /.
Тогда дисперсия эффективности портфеля определится как:
P=S"(6.4.12),
a среднеквадратическое отклонение эффективности в виде:
-IJ J
(6.4.13)
Предположим далее, что инвестор вложил свои средства равными долями во все ценные бумаги. Тогда Xj = \/п и инвестор получит средний ожидаемый эффект в виде:
(6.4.14)
Среднеквадратическое отклонение эффективности определится как:
Пусть далее
сг = max сг
(6.4.15)
(6.4.16)
С учетом 6.4.15 и 6.4.16 очевидно неравенство:
(6.4.17),
Переходя к пределу в выражении (6.4.17), получим
lim=-=>0(6.4.18).
Из выражения (6.4.18) следует, что при ограниченности среднеквадратического отклонения эффективности ценных бумаг, входящих в портфель, риск портфеля ограничен и стремится к нулю при неограниченном возрастании числа ценных бумаг в портфеле. Отсюда проистекают рекомендации для инвесторов о целесообразности диверсификации портфеля, то есть необходимости составлять портфель из возможно большего числа взаимно-некоррелированных ценных бумаг.
б) Положительная взаимная корреляция между ценными бумагами, входящими в портфель
Напомним, что дисперсия эффективности портфеля или же его риск определяется формулой (6.4.11) т.е.:
.=SE.-,-.(6.4.19).
,=1 j=\
С учетом того, что коэффициент корреляции для 2-х случайных величин определяется формулой:
Pi.j=---j(6.4.20),
формулу (6.4.19) для риска портфеля можно представить в виде: