«бета / - го вклада». Левая часть в выражении (6.4.5), в виде превышения величины эффективности рискованных вложений над эффективностью безрискового вклада, называется премией за риск. Если значение р. положительно, то эффективность / - й ценной
бумаги прямо пропорционально эффективности рынка. Если значение р. отрицательно, то эффективность /- й ценной бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.
Премия за риск от вложения / - й ценной бумаги линейно зависит от ситуации, складывающейся на рьшке.
Модели линейной регрессии (6.4.4-6.4.5), с одной стороны, очень просты и это является их достоинством, но с другой стороны их простота оборачивается потерей точности предсказаний из-за не учёта ведущего фактора (состояния рынка в целом) и других факторов, влияющих в той или иной степени на эффективность ценных бумаг. Учёт нескольких факторов, безусловно, можно осуществить в рамках моделей множественной линейной или же нелинейной ретрессии, но это усложнит для конечного пользователя вид моделей и обозримость результатов. Поэтому для того, чтобы повысить точность предсказания модели линейной регрессии для всего спектра ценных бумаг, функционирующих на рьшке США, пошли не по пути усложнения моделей, а путём введения дополнительных поправок к коэффициентам линейной регрессии в моделях (6.4.4 - 6.4.5). Статистические исследования рынка США[8] показали, например, что эффективной для коррекции коэффициента р в выражении (6.4.5) является формула:
:K, + K,-/3,+K,-S,(6.4.6),
где: Д - скорректированный коэффициент линейной регрессии; Kq,K,K2 - некоторые коэффициенты, а значение 5, - это
десятичный логарифм суммарной стоимости компании, для которой осуществляется прогнозирование в рамках модели (6.4.5).
Параметры моделей линейной регрессии типа (6.4.4-6.4.5), а также оценки точности указанных моделей, в виде среднего квадрата ошибок и среднеквадратического отклонения ошибок, публикуются в США в специальных изданиях.
Результаты прогнозирования эффективностей ценных бумаг по моделям типа (6.4.4-6.4.6), а также значения ошибок прогнозирования («риски» ценных бумаг) могут использоваться в качестве исходных данных для последующей оптимизации портфеля ценных бумаг. Ниже вкратце рассмотрим основные количественные характеристики и свойства портфеля ценных бумаг в зависимости от номенклатуры входящих в него бумаг. Кроме того, рассмотрим также основные классические постановки задач по оптимизации портфеля ценных бумаг.
6.4.3. Количественные характеристики портфеля ценных бумаг
Количественные характеристики портфеля ценных бумаг принято[8,9] рассматривать, исходя из предположений, что случайные величины, определяющие его эффективность, являются элементами генеральной совокупности с нормальным законом распределения. В терминах теории случайных функций [26] это эквивалентно понятию нормального стационарного случайного процесса (случайной последовательности).
Ниже приведём количественные характеристики для портфеля ценных бумаг в терминах случайных величин. Пусть X,,/ = \,....п- доля общего вложения, приходящаяся на i - й вид ценных бумаг, так что:
х,+х,+......Х„\
или же в краткой записи:
X , = 1(6.4.7)
Случайное значение эффективности портфеля Rp очевидно равно:
R = fR,-X,(6.4.8)
при условии, что случайное значение эффективности i-ro вида ценных бумаг равно R, . Согласно правилам теории вероятностей
ожидаемый эффект от портфеля равен:
= (.) = Ъ. ) = 1 • .(6.4.9),
(=1/=1
где Мр - математическое ожидание эффективности портфеля или просто эффективность портфеля; М, - математическое ожидание
эффективности i-й ценной бумаги; Е - здесь и далее означает операцию математического ожидания.
Случайное отклонение от ожидаемого значения эффективности портфеля равно:
R„-M ,, = fX,-{R,-M,)(6.4.10)
Математическое ожидание квадрата этого отклонения называется дисперсией эффекта портфеля или же его «риском» и определяется как: