=8,1%. По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: Р;, =0,3944 (по сравнению с
линейной, степенной и показательной регрессиями). А остается на допустимом уровне:
•факт ~
п-т-1 0;i555 т 0,8445
•5 = 0,92,
где F„6j, =6,6 > Fфaкr> а = 0,05.
Следовательно, принимается гипотеза Но о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
Пример 2
По территориям региона приводятся данные за 199Х г. (табл. 1.6).
Таблица 1.6
Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., X | Среднедневная заработная плата, руб., у |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
Требуется:
1.Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.
2.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3.Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4.Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимумах, составляющем 107% от среднего уровня.
5.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
Решение
1, Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.7).
Таблица 1.7
| | | | | | | у-Ух | |
| | | 10374 | 6084 | 17689 | | | 12,0 |
| | | 12136 | 6724 | 21904 | | | |
| | | 11658 | 7569 | 17956 | | | 17,2 |
| | | 12166 | 6241 | 23716 | | | |
| | | 14418 | 7921 | 26244 | | | |
| | | 20670 | 11236 | 38025 | | | 10,8 |
| | | 9313 | 4489 | 19321 | | | |
| | | 13904 | 7744 | 24964 | | | |
| | | 11096 | 5329 | 23104 | | | |
| | | 14094 | 7569 | 26244 | | | |
| | | 12084 | 5776 | 25281 | | | |
| | | 19895 | 13225 | 29929 | | | |
Итого | 1027 | 1869 | 161808 | 89907 | 294377 | 1869 | | 68,8 |
Среднее значение | 85,6 | 155,8 | 13484,0 | 7492,3 | 24531,4 | | | |
| 12,95 | 16,53 | | | | | | |
| 167,7 | 273,4 | | | | | | |
у-х-у-х 13484-85,6-155,8 151,8
Хх2-(3с)2 7492,3-85,6
164,94
= 0,92;
а = у-Ьх = 155,8 - 0,92 - 85,6 = 77,0.
Получено уравнение регрессии: у -11,0 + 0,92 - х. С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.
2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
= й- = 0,92-1 = 0,721; г,=0,52.
16,53
3-3272
Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией факторах - среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
-Г 1 V. . 68 ,9 „
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как А не превышает 8 - 10%.
3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью г-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
Вьщвигаем гипотезу Но о статистически незначимом отличии показателей от нуля: а = Ь = г = 0.
Гтабл для числа степеней свободы <=/г-2 = 12-2=10иа = 0,05 составит 2,23.
Определим случайные ошибки Шд, шь, тпг :
=U6 = 24.3; =-12=0.281; 12 12,95* 12,95-Vl2
/10520 0,219. xy у 12-2
Тогда
" 24 ,30,281У 0,219
Фактические значения г-статистики превосходят табличные значения:
ta = 3,2 > Гхабл = 2,3 ; tb = 3,3 > t = 2,3 ; t = 3,3>/6 = 2,3,
поэтому гипотеза Hq отклоняется, т.е. а, b и Гху не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем доверительный интервал для а н Ь. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
= 2,23 • 24,3 = 54 ; А/, = 2,23 • 0,281 = 0,62 .