Система нормальных уравнений составит:

248,4 = 9-ai+350,4-6,, [13508,71 = 350,4 • flj + 21142,02 6j

ai = 7,678; 6i = 0,512. Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:

>=7,678 + 0,5l2(C + D).

Пример 3

Имеются данные за 1990-1994 гг. (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Требуется: Построить модель вида

У2=/(У\Х2)

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты. Решение

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид

yi={n-yi+au-xi+ti,

У2 =21 +22-2+El-

в каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1 + 1. Это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

=Sii-i+Si2-2.

в которой коэффициенты при х определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений бц и запишем систему нормальных уравнений:

1.У1Х2 =5,, 1.хуХ2 +5i2 -Ххг.

При ее решении предполагается, что х и у выражены через отклонения от средних уровней, т. е. матрица исходных данных составит:

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

1.У1Х1 = 1600 ; 1.ухХ2 = -37 ; Ixf = 180 ООО ; IxiX2 =-1900 ; Ixf =96. Система нормальных уравнений составит:

1600 = 180 ООО бп -1900 612, -37 = -1900-6ii+96 6i2.

Решая ее, получим:

5ii = 0,00609 ; 5i2 = -0,26481 .

Итак, имеем = 0,00609 • Xj - 0,26481 • Хг. Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициентов 621 и 622:

yil - 21 1 +22 •2;XiX2, Ъу2Х2= 12 +22 -2X2

Ъу2Х1 = -160 ; 1:у2Х2 = 10,2.

/-160 = 180000 • 521 -1900 • 522, [10,2 =-1900-521+96 • 522-

Следовательно,

521 =0,00029 ; 522 =0,11207 -тогда второе уравнение примет вид

= 0,00029 Х] +0,11207-Х2. Приведенная форма модели имеет вид

у = 0,00609 • Xl - 0,26481 x2, ;2 =0,00029 •xi+0,11207-Х2.

Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели:

>1 = 0,00609 • Xl - 0,26481 • Х2, у2 -0,00029-Xl

0,11207

Х2 =

у. = 0,00609 • X, - 0,26481 • >2 "-"ОО 1 = -2,36290 • у2 + 0,00678 • Xj,

0,11207

у2 = 0,00029 • Xl + 0,11207 • Х2, У1 +0,26481 Х2

0,00609

у2 = 0,00029 2 + Q J J207 • Х2 = 0,04762 • у. + 0,12468 Х2.

0,00609