РАЗДЕЛ

СИСТЕМА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

3.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений: • система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

>1 =aii Xl +ai2-X2 + m

>2 =021 -1 +022 X2+... + a2 -X +£2,

yn-tni -1 +3„2 X2+... + ax„ +e„

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

• система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде факторах в другом уравнении:

У\ =011-1+-312 •X2+... + ai;„x+ei,

У2=Ь2х-У\+С12\-Х+а22-Х2-\г... + а2г„-Х-\гг2,

Узyi +2 >2+«31 -1 +32-2 +- + 3т +3>

Уп = Ьп\ У\+Ьп2Уг + --Кп-\ Уп-\ + „1 • 1 + ап2 2 + -

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

• система взаимосвязанных {совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:

У1 =Ь12-У2 +Ь13Уз +- + Ь\п-Уп +au-xi +012 +••• + У2=Ь2\У1+1>23УЗ+- + Ь2„-у„+а2гХ1+а22-Х2+...+

+ а2„,х+е2,

Уп =Ьп\ -У! +Ь„2-У2 +Уп-Х + ЛпХ "l +„2 2 +- +

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы х.

Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты амЬ при переменных - структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели:

У\ =5iiXi+5i2X2+... + 5ix,

y2=h\ -1 +522 2 +- + 02п1 -щ.

.Уп = 5„1 • Xl + 5„2 • Д:2 + - + Km т > где 5 - коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:

D + 1 = Я - уравнение идентифицируемо; D + 1 < Я - уравнение неидентифицируемо; D + 1 > Я - уравнение сверхидентифицируемо,

где И-число эндогенных переменных в уравнении,

D - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифи-цированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

•составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

•путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухиигговый МНК заключается в следующем:

•составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

•выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухша-говым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

•обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчегные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

3.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 1

Требуется:

1.Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

У\ =3-J3+«11-1+«13-3.

У2=Ь2\У\+Ь2гУъ + аг2Ч Уг=Ьъ2-У2 + аг\-х\+п-ъ-

2.Исходя из приведенной формы модели уравнений yi=2xi+4-X2+l0x-},

У2 =3X1 -6X2+2X2,

дз = -5 • 1 + 8 2 + 5 • Хз,

найти структурные коэффициенты модели. Решение

1. Модель имеет три эндогенные (уь уг, уз) и три экзогенные (Х], хг, Хз) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.