РАЗДЕЛ
СИСТЕМА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
3.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.
Различают несколько видов систем уравнений: • система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:
>1 =aii Xl +ai2-X2 + m
>2 =021 -1 +022 X2+... + a2 -X +£2,
yn-tni -1 +3„2 X2+... + ax„ +e„
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
• система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде факторах в другом уравнении:
У\ =011-1+-312 •X2+... + ai;„x+ei,
У2=Ь2х-У\+С12\-Х+а22-Х2-\г... + а2г„-Х-\гг2,
Узyi +2 >2+«31 -1 +32-2 +- + 3т +3>
Уп = Ьп\ У\+Ьп2Уг + --Кп-\ Уп-\ + „1 • 1 + ап2 2 + -
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
• система взаимосвязанных {совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:
У1 =Ь12-У2 +Ь13Уз +- + Ь\п-Уп +au-xi +012 +••• + У2=Ь2\У1+1>23УЗ+- + Ь2„-у„+а2гХ1+а22-Х2+...+
+ а2„,х+е2,
Уп =Ьп\ -У! +Ь„2-У2 +Уп-Х + ЛпХ "l +„2 2 +- +
Такая система уравнений называется структурной формой модели.
Эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.
Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы х.
Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.
Коэффициенты амЬ при переменных - структурные коэффициенты модели.
Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели:
У\ =5iiXi+5i2X2+... + 5ix,
y2=h\ -1 +522 2 +- + 02п1 -щ.
.Уп = 5„1 • Xl + 5„2 • Д:2 + - + Km т > где 5 - коэффициенты приведенной формы модели.
Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:
D + 1 = Я - уравнение идентифицируемо; D + 1 < Я - уравнение неидентифицируемо; D + 1 > Я - уравнение сверхидентифицируемо,
где И-число эндогенных переменных в уравнении,
D - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифи-цированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.
Косвенный МНК состоит в следующем:
•составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
•путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Двухиигговый МНК заключается в следующем:
•составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
•выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухша-говым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
•обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчегные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.
3.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример 1
Требуется:
1.Оценить следующую структурную модель на идентификацию:
У\ =3-J3+«11-1+«13-3.
У2=Ь2\У\+Ь2гУъ + аг2Ч Уг=Ьъ2-У2 + аг\-х\+п-ъ-
2.Исходя из приведенной формы модели уравнений yi=2xi+4-X2+l0x-},
У2 =3X1 -6X2+2X2,
дз = -5 • 1 + 8 2 + 5 • Хз,
найти структурные коэффициенты модели. Решение
1. Модель имеет три эндогенные (уь уг, уз) и три экзогенные (Х], хг, Хз) переменные.
Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.