назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32]


5

Поскольку портфель был сформирован как безрисковый, теку( Коэфф11*Ц**\Р" оиия иены

величина портфеля, умноженная на (1 + безрисковая процентная ciбиномиальной модели ОПределе Ц

ка), должна быть равной выплате в конце рассматриваемого nepHQ хщсло опционов колл, требуемое для формирования

Если бы это не имело места, то существовала бы возможность арбпоотфеля

ражамежду опционом, хеджированным портфелем и безрисковой и"Тциент хеджирования (отношение стоимости базисного то-

центной ставкой. Теперь можно определить текущую цену опцц<оимости опционов, использованных для формирования без-

колл на одну единицу товара путем сравнения хеджируемой комби1 " портфеля, содержащего выписанные опционы и куплен-

ции товара и опционов колл с инвестициями в безрисковые актщJi/m или дельта.

Если с - цена одного опциона колл на одну единицу товара, то те"Р щая величина портфеля равна (5 - тс), поскольку цена одной еди1 цы товара равна 5, и имеется т опционов, каждый из которых стой

Следовательно,

г (S - тс) = м5 - тСи,

Модель определения цены опционов Блэка-Шолеса

тогда

S - тс = (uS - тСи)/г, так что

тс = S - [(.tiS - тСи)/г\

с = {5 - [(м5 - тСи)/г])/т.

Подставляя, как и раньше, значения, имеем:

с = {20 - [(24 - 3,53 X 3)/1,П}/3,53. Отсюда

с = 2,2147.

В вышеприведенном примере безрисковый портф( гового движения цены содержал бы:

•одну единицу товара = 20 ф. ст.

•опционы колл, выписанные на 3,53 единицы товара с ценой полнения 21 ф. ст., которые продавались бы по цене 2,21 ф. ст. единицу товара.

В статье, озаглавленной «Определение цены опционов и корпора-вные обязательства» и опубликованной в 1973 г. в «Journal of Poli-Щ:а1 Economy*, Ф. Блэк (Black) и М. Шолес (Scholes) изложили (дель определения цены опционов, которую сейчас принято считать ассической. Существует несколько вариантов этой модели. В ни-хледующем варианте исходная модель Блэка-Шолеса, разрабо-нная для определения цены опционов на обыкновенные акции, пред-авлена для процентных опционов, которые предусматривают физи-:кую поставку базисного актива. Цена опционов колл равна:

Ct"{FN{d,)-EN{d)],

ичем

1п(/) + (0,55)/

Первоначальная цена портфеля = 12,1821

Окончательная цена портфеля = 13 40 13,40/12,1821 = 1,1-г= 1,1.

20 -(3,53 x 2,2147) =

i = d,-{s-4t).

г\ргъ Е - цена исполнения опциона- F - форвардная процентная ель для ОДНОШ1...вка на дату исполнения, т. е. текущая цена товара; t - время до J :ы исполнения (в годах); S ~ изменчивость цены базисного инстру-ента, выражаемая в виде десятичной дроби; N(.d) - вероятность ofo, что случайная переменная с нормальным распределением, со [РРДней, равной О, и среднеквадратичным отклонением, равным 1, Удет меньше или равно d; е - основание натурального логарифма, и 2,71828; In (F/E) - натуральный логарифм F/E (не log с осно-шием 10); г - непрерывно начисляемая ставка без риска.

Изменчивость цены (волатильность) обычно определяется как Реднеквадратичное отклонение ежедневных изменений цены базисного "струмента в расчете на год. Она может быть получена путем умно-вснпя среднеквадратичного отклонения на 7250 (предполагается 250 абочих дней в году.). Тем не менее, цена опционов часто определя-



ется на основе внутренней волатильности. Волатильность можно пр позировать, исходя из текущей рыночной цены опционов. Дилер жет считать собственные ожидания в отношении изменчивости це более полезными, чем оценки волатильности, полученные по теоре ческим данным.

Цена опциона, полученная из приведенной выше формулы, им ту же единицу измерения, что и цена базисного инструмента. Т например, для базисного инструмента с процентной ставкой 3-месячному депозиту цена опциона будет также выражена в проц те годовых за 3 месяца. Данная величина в процентах пересчитыва ся в денежный эквивалент премии опциона (если модель Блэка Шолеса используется для валютных опционов, то появляются i параметра процентной ставки - по одному для каждой валюты).

Каждая переменная в формуле определения цены оказывает 31 чительное влияние на цену опциона. Основное влияние оказыва увеличение срока истечения опциона и изменчивости цены, что пр водит к удорожанию опциона. Чем дольше срок истечения и болы изменчивость цен рынка, тем больше вероятность, что цена станет выигрышем» или «с большим выигрышем».

Рост цены базисного инструмента (например, процентной ставм случае процентных опционов) сделает опционы колл (право на заа более дорогими, а опционы пут (право на предоставление займа напротив, более дешевыми. Чем ниже цена исполнения или ставк тем более дорогим является опцион колл и менее дорогим - пут. Э свойства являются общими для всех контрактов на опционы, незав симо от их вида. Тем не менее, степень чувствительности будет ра личной.

Графики, представленные на рис. 3.1, иллюстрируют чувствител ность изменяющихся параметров затрат:

1)Зависимость премии опциона колл от цены базисного шструмента

2)Зависимость премии оппиона котт от времени до истсчстгя

3)Зависимость премии опциона колл от волатильности. Эти графики показывают, что опционы «с проигрышем» демо!

стрируют наибольшую чувствительность к изменчивости цен и к пр должительности периода до срока истечения опциона. Спекулянт опционами часто занимают позиции по опционам «без выигрыша» расчете на изменение их волатильности. Эти опционы также продан в надежде выкупить позже, полагая, что цена базисного инструмент или останется неизменной, или изменится не намного.

Оценка опционов пут и паритет опционов пут-колл

Формула паритета пут-колл выражает зависимость между ценам соответствующих опщюнов по одному и тому же товару:

30 -

28 -

26 -

24 -

22 -

20 -

18

16 -

14 -

12 -

10 -

8 -

6 -

Цена базисного инструмента

5030

Число дней до даты исполнения (б)



32 -1

30 -

28 -

26 -

24 -

22 -

§

20

18

16 -

14 -

12 -

10 -

8 -

Рис. 3.1. Чувствительв

Волатильность

Циона колл ох цеГ бзиснГо"

б - зависимость премии(покупка за 1

в-завис™»... „"Г"*""""" « «"Г времени до истече»

зависимость премии опциона колл

от волатильности

Определение цены американских опционов

Модель Блока - Шолеса представляет собой формулу определения ы опционов, которую можно использовать для оценки как еврейских, так и американских опционов колл. Тем не менее, посколь-американские опционы пут могут исполняться до истечения их ка, паритет опционов пут -колл здесь не соблюдается. Все известные способы оценки американских опционов пут вклю-ют компьютерные методы численного расчета. Последние были раз-Щботаны, среди прочих, М. Бреннаном (Brennan) и Э. Шварцем Ichwartz; 1977), Дж. Коксом и др. (1979). В компьютерной про-мме, основанной на биномиальном определении цены опционов, пользуется итерационная методика; программа запускается с набо-возможных окончательных выплат в заданные периоды и работает братном направлении вплоть до нахождения текущей цены амери-нских опционов пут. Возможность более раннего исполнения опре-ляет более высокую (или равную) цену американских опционов т по сравнению с европейскими.

Коэффициенты хеджирования опционов

Коэффициент хеджирования дельта уже рассматривался выше в дношаговой биномиальной модели. В модели Блэка - Шолеса дель-а равна ЛГ(с?,), которая является мерой чувствительности, скоростью лченения премии опциона относительно цены базисного инструмен-а. Дельта изменяется от О до 1 и приблизительно равна 0,5 для ционов «с проигрышем». Поскольку для опционов «с большим прорыщем» дельта находится в своем минимуме, то такие опционы емонстрируют самую низкую чувствительность премии к изменению 1ены базисного инструмента (рис. 3.2). Уменьшение волатильности со временем вызовет снижение цены

P = C-{F-Eq-) ,

где Р и С - соответственно цены опционов пут и колл по ДаННДШ ---иршспис пилсчилопохи преуспей omouoci пппп испш

товару; F - текущая цена товара: F - пена игчо.не-ия обоихош --""-Р придерживается точки зрения, что волатиль-

нов, е = 2,71828; г - непрерывно начисляемая ставка без риска " ""ь уменьшается со временем, то подходящей стратегией будет про-

время, остающееся до истечения обоих опционов и выраженное в д( опционов. Стратегии операций, основанные на продаже опцио-

лях года. Эта формула описывает, как цена опциона пут может бьО работают лучше в случае опционов «с проигрышем», а степень

вычислена из цены опциона колл при одних и тех же цене исполи эффективности может быть повышена благодаря недостаточной чув-

ния, сроке истечения и товаре. Формула паритета опционов „ут «"«ьности к цене базисного инструмента. Стратегии, ™аю-

колл показывает, что позиция по опциону пут может быть создУ "ие приобретение опционов «с выигрышем», используют выгоды вы-посоегтстппм жлх.л-----------Аш.

посредством комбинации;

•покупки опциона колл;

•продажи ценных бумаг;

•перевода дисконтированной стоимости рисковые ценные бумаги.

окой чувствительности к цене базисного товара, а позиция по опци-ну в этом случае сближается с позицией по базисному товару. Как было сказано выше, дельта используется для создания«мгно-ц «нной» позиции хеджа. Теоретически эту позицию необходимо ио-

ны исполнения в бЛстоянно корректировать из-за изменения дельты вследствие измене-Ння цены базисного инструмента. Это известно как дельта-нейтраль-~ный хедж. При изменениях цены базисного инструмента хедж пос-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32]