Биржа и теория вероятностей

§ 1. Можно ли получить прибыль из хаоса?

так, вы решили ифать самостоятельно. Вы выбрали стиль ифы в соответствии с вашими возможностями, намерениями и характером, а также определили сумму для покупки акций. Вы выбрали брокера и, подписав с ним кабальный договор о том, что вы и только вы будете во всем виноваты, если проифаете, перевели деньги на ваш счет в брокерской фирме. Что дальше? Вы открываете страницы газеты с описанием биржевых курсов и видите списки тысяч компаний, акции которых растут или падают и с первого взгляда не подчиняются никаким законам. Действительно, есть ли законы, определяющие поведение акций? Чем отличается ифа на бирже от покупки лотерейных билетов, ифЫ в казино или на скачках? Можно ли найти акции, которые будут расти с больщей вероятностью, чем падать, или это все ифа случая?

Читая газеты, вы можете встретить забавные рассказы о том, как удачные акции были выбраны курицей, которая клевала зерно, рассыпанное на страницах газет с биржевыми курсами (на какой строчке клюнула - те акции и покупать), собакой, бегавшей по газетам, обезьяной и другими подобными «аналитиками» рынка акций. Выбор этих «аналитиков» любят сравнивать с выбором профессионалов, подчеркивая, что иногда профессионалы оказывались позади.

Так, может быть, книгу на этом и завершить? Вы уже знаете, что такое акции и биржа, как выбрать брокера и как покупать акции. Остается только приобрести лук со стрелами, развесить на стене страницы The Wall Street Journal, завязать глаза и начать стрельбу: стрелы укажут компании, акции которых надо купить. Поскольку рынок в среднем растет, подождав несколько лет, вы скорее всего получите прибыль. Как

ни странно, такой метод имеет право на существование, и после такой стрельбы вы можете заработать неплохие деньги.

Однако не надо забывать, что хотя цены акций в среднем растут, но акции каждой отдельной компании вполне могут и падать. Существуют сотни примеров, когда акции, стоившие десятки долларов, падали до нескольких центов. Если просмотреть фафики зависимости цен акций различных компаний от времени, то может сложиться впечатление, что на коротком промежутке времени (месяцы или год) движение цен совершенно случайно. Что произойдет с акциями завтра, не зависит от того, что было с ними сегодня, вчера и т.д. Вероятности падения или роста цены на следующий день представляются практически равными. Если это так, то поведение цены акций - это случайный процесс, и ифа на бирже мало отличается от ифы в казино: полный хаос и все решает случай. К тому же, покупая акции, вы платите комиссионные брокеру и дополнительно теряете деньги на разнице цен покупки и продажи. В таком случае, даже если вероятность выифыша и проифыша одинакова, то в среднем вы проифаете за счет указанных затрат.

А может быть, можно получить прибыль и из хаоса, даже если цены акций ведут себя абсолютно случайным образом? Для подобных процессов разработаны специальные методы, и соответствующий раздел математики называется теорией случайных блужданий, в рамках которой динамика цены акций рассматривается как случайное блуждание точки по оси цен. Эта теория получила широкое распространение среди теоретиков биржи в 50-х годах, когда расчеты на первых компьютерах показали ее соответствие поведению рынка акций. Последующее, более глубокое изучение биржевых процессов выявило ее недостаточность, но об этом мы расскажем позже. Пока же ознакомимся с методами этой теории, которые до сих пор используются аналитиками. Для этого попробуем придумать стратегию биржевой ифы, дающую прибыль при условии, что цена выбранных акций подчиняется законам случайных блужданий, т.е. вероятности роста или падения цены равны и не зависят от прошлого поведения акций. Будем рассматривать только изменение цен акций, пренебрегая брокерскими комиссионными и другими затратами.

Простейшая стратегия - это купить акции и, если они вырастут в цене на L долларов, - продать. Если изменение цены случайно, то рано или поздно цена коснется установленного вами предела и вы получите прибыль. В теории случайных блужданий есть теорема, что если объект (в нашем случае цена акций) начинает случайные блуждания по оси х из точки Хо, то какую бы точку X мы ни выбрали, рано или поздно объект попадет в точку X с вероятностью, равной единице. В случае ифы на бирже Х(1 - цена акций при покупке, X - цена акций при продаже и разница

L = X -Хо

ОX,А" (предел)

Предположим, что цена акций меняется каждый день, вырастая или падая на один доллар с равной вероятностью. В этом случае, можно доказать, что вероятность касания точки X раньше, чем точки О, т.е. вероятность получения прибыли, равна

РЩ = S/(S + L),

а вероятность касания точки О раньше, чем точки X, т.е. вероятность проифыша, равна

P{S)L/{S + L).

Средняя прибыль G (в долларах) при таком описании биржевой ифы и такой стратегии будет равна вероятности выифыша, умноженной на величину выифыша, за вычетом произведения величины проифыша иа вероятность проифыша. Математически это можно записать в виде

G = LP(L) - SP{S),

а подставив значения Р(Ь) и Р(5), получим G = 0. Как видите, средняя прибыль от такой игры действительно равна нулю. Часть ваших акций коснется точки X, и вы получите прибыль, а часть акций погибнет, и у вас будут потери. (Если вы инвестируете все свои средства в акции одной компании, то P{S) - вероятность полной потери капитала.) Конечно, в зависимости от величин 5 и L реальные результаты ифы за офанпченные промежутки времени будут разными. Чем меньше ваш начальный капитал (это величина, сопоставимая с 5 или Хо) и чем

будет вашей прибылью. Иными словами, надо купить акции и ждать, пока образуется прибыль. К сожалению, как будет показано, средняя прибыль от такой ифы равна нулю, т.е. эта стратегия неперспективна. В ней, помимо практической невозможности ожидать желаемого бесконечно долго, есть еще и теоретическая тонкость: если цена акций упадет до нуля, то это означает банкротство компании, и процесс ожидания прибыли прервется. Российские инвесторы (да и не только российские) хорошо представляют такую ситуацию. Иными словами, цена акций может блуждать между нулем и числом X. Как только цена коснется одной из этих фаниц, процесс блуждания окончится, и можно начать подсчет прибылей или убытков. Возможную прибыль мы обозначим буквой L, а возможные убытки обозначим буквой 5. В рассматриваемом случае 5 = Хо. т.е. возможные потери равны первоначальной стоимости акции. Чтобы лучше представить такой метод ифы на бирже, мы приведем рисунок, где указаны наши обозначения.