назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403] [404] [405] [406] [407] [408] [409] [410] [411] [412] [413] [414] [415] [416] [417] [418] [419] [420] [421] [422] [423] [424] [425] [426] [427] [428] [429] [430] [431] [432] [433] [434] [435] [436] [437] [438] [439] [440] [441] [442]


47

ОТ МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА К БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

Процесс преобразования применяемой в модели Блэка-Шоулза непрерывной дисперсии в биномиальное дерево довольно прост. Предположим, что у нас есть актив, продающийся в данный момент по цене 30 долл., а оценка стандартного отклонения стоимости актива, приведенного к годовому масштабу, дала значение в 40%. Безрисковая ставка в годовом выражении - 5%. Для упрощения предположим, что срок жизни опциона, подлежащего оценке, равен 4 годам, а период равен 1 году. Для оценки цен к окончанию каждого года мы сначала оценим движения вверх и вниз по биномиальной схеме:

и=ехр

d=exp

0,4лЯ + -0,4>Я +

0,05-

= 1,4477,

0.05-

0,40

/ J

= 0,6505.

На основе этих оценок мы можем получить цены для оконечности первого узла дерева (завершение первого года):

Повышающаяся цена = 30 долл. (1,4477) = 43,43 долл.,

Понижающаяся цена = 40 долл. (0,6505) = 19,52 долл.

Продвигаясь через оставшуюся часть дерева, мы получим следующие цифры:

43,43.

62,88

28,25

12,69

91,03

. 40,90

18,38



warrant.xls - таблица, позволяющая оценивать стоимость опционов, когда возникает потенциал разбавления числа акций в результате исполнения.

Модель Блэка-Шоулза для оценки опционов пут. Стоимость пут опциона можно вывести из колл-опциона с той же самой ценой исполнения и тем же самым сроком действия:

С - Р = S - К е"",

гдеС = стоимость опциона колл;

Р = стоимость опциона пут.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 5.6. Оценка варранта на акции Avatek Corporation

Avatek Corporation - фирма, занимающаяся недвижимостью. В обращении находится 19,637 млн. акций, продающихся по цене 0,38 долл. за штуку. В марте 2001 г. компания имела 1,8 млн. обращающихся опционов, которым осталось 4 года до истечения срока их действия и с ценой исполнения 2,25 долл. По акциям дивиденды не выплачивались, а стандартное отклонение в In (коэффициента доходности акции) составило 93%. Четырехлетняя ставка по казначейским облигациям равна 4,9% (варранты продавались по цене 0,12 долл. за варрант в момент проведения этого анализа). Входные данные для модели оценки варранта таковы:

S = (0,38 X 19,637 + 0,12 X 1,8)/(19,637 + 1,8) = 0,3544; К = цена исполнения варранта = 2,25; t = время до истечения срока варранта = 4 года; г = безрисковая ставка, соответствующая сроку жизни опциона = 4,9%; = дисперсия ценности акции = 0,93 у = дивидендная доходность на акцию = 0,0%

Результаты оценки по модели Блэка-Шоулза:

d, = 0,0418 N(d,) = 0,5167 d, =-1,8182 N(d,) = 0,0345

Стоимость варранта = 0,3544 X (0,5167) - 2,25 X ехр(-0,049x4) X (0,0345) =

= 0,12 долл.

В марте 2001 г. варранты торговались по цене 0,12 долл. Поскольку стоимость оказалась тождественной рыночной цене, необходимость в дальнейших итерациях отсутствует. Если бы существовала разница, нам пришлось бы заново оценить скорректированную цену акции и стоимость варранта.



где di= -

г-у-г- 2

- и d, = d, -охлЯ .

Таким образом, создается портфель-имитатор путем продажи без покрытия [1-N(d)] акций и инвестирования К е "[1 -N(d2)] в безрисковый актив.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 5.7. Оценка опциона пут с использованием пут -колл паритета: Cisco Systems и AT&T

Обсудим колл-опцион Cisco Systems, рассмотренный ранее в иллюстрации 5.2. Колл-опцион имеет цену исполнения 15 долл. за акцию. До истечения срока осталось 103 дня, и он был оценен в 1,87 долл. Акция продавалась по цене 13,82 долл. Безрисковая ставка составляет 4,63%. Пут-опцион можно оценить следующим образом:

Стоимость пут-опциона = С - S -I- К е"" = 1,87 долл. - 13,62 долл. -I-+ 15 долл. е"""""""»" = 3,06 долл.

Связь между стоимостью опционов колл и пут называется «пут - колл паритетом», и любое отклонение от него инвесторы могут использовать для получения прибыли без всякого для себя риска. Чтобы объяснить, почему возникает пут - колл паритет, рассмотрим продажу колл-опциона и покупку пут-опциона с ценой исполнения К и сроком истечения t; при этом одновременно покупается базовый актив по текущей цене S. Вьшлаты по этой позиции - безрисковые и всегда приносят К в момент истечения срока t. Чтобы убедиться в этом, предположим, что цена исполнения к моменту фока истечения опциона равна Вьшлаты на каждую позицию в портфеле представлены ниже:

Позиция ВыплатаВыплата

8 момент t,8 момент t,

если ЗЖесли S" < К

Продажа опциона колл -(S* - К)О

Покупка опциона пут ОК - S* Покупка акции

Итого КК

Эта позиция со всей определенностью приносит сумму К, а издержки на создание этой позиции должны равняться текущей стоимости К при безрисковой ставке К е~".

S -г Р - С = К е", С - Р = S - К е

Подставив стоимость опциона колл, полученного по модели Блэка-Шоулза, мы получим:

Стоимость пут-опциона = К е-"[1 -N(d2)] -S е>[1 -N(d)],

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403] [404] [405] [406] [407] [408] [409] [410] [411] [412] [413] [414] [415] [416] [417] [418] [419] [420] [421] [422] [423] [424] [425] [426] [427] [428] [429] [430] [431] [432] [433] [434] [435] [436] [437] [438] [439] [440] [441] [442]