назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403] [404] [405] [406] [407] [408] [409] [410] [411] [412] [413] [414] [415] [416] [417] [418] [419] [420] [421] [422] [423] [424] [425] [426] [427] [428] [429] [430] [431] [432] [433] [434] [435] [436] [437] [438] [439] [440] [441] [442]


44

ОЦЕНКА ВХОДНЫХ ДАННЫХ В МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА

Модель Блэка-Шоулза требует, чтобы в исходных данных корректно учитывался фактор времени. Данный фактор влияет на оценки двояким образом. Во-первых, факт непрерывности, а не дискретности, времени приводит к тому, что мы используем вариант приведенной стоимости с непрерывным временем (е""), а не дискретный вариант (1 + г)". К тому же это означает, что входные данные, такие как безрисковая ставка, должны быть модифицированы для соответствия непрерывному времени. Например, если ставка по одногодичной казначейской облигации равна 6,2%, то безрисковая ставка, используемая в модели Блэка-Шоулза, составит:

Непрерывная безрисковая ставка = = 1п(1 + дискретная безрисковая ставка) = 1п( 1,062) = = 0,06015 или 6,015%

Во-вторых, это период, на котором оцениваются входные данные. Предположим, что нам известна исходная ежегодная ставка. Дисперсию, которая используется в модели, также следует привести к годовому уровню. Дисперсию, оцененную на основе величины 1п(коэффициента доходности актива), можно легко привести к годовому уровню, поскольку дисперсия линейно зависит от времени, если автокорреляция равна нулю. Таким образом, если для оценки дисперсии используются месячные или недельные цены, то дисперсия приводится к годовому масштабу путем умножения, соответственно, на 12 или на 52.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 5.2. Оценка опциона по модели Блэка-Шоулза

Шестого марта 2001 г. акция Cisco Systems продавалась по цене 13,62 долл. Мы попытаемся оценить июльский колл-опцион 2001 г. с ценой исполнения 15 долл., продающийся на Чикагской бирже опционов в тот же день по цене 2 долл. Ниже указаны другие параметры опциона.

Годовое стандартное отклонение цены акции Cisco Systems за предыдущий год составило 81%. Данное стандартное отклонение оценено на основе недельных цен на акции. Получившаяся величина была приведена к годовому масштабу:

Стандартное отклонение за неделю = 11,23%,

Стандартное отклонение, выраженное в годовом исчислении =

= 11,23% X V52 = 37%.

Дата истечения опциона - пятница, 20 июля 2001 г. До момента истечения осталось 103 дня, а процентная ставка по казначейским векселям в годовом исчислении, соответствующая сроку жизни опциона, составляет 4,63%.



In 4 = -

15,00

0,0463+1

0,81x702822

X 0,2822 -= 0,0212,

dj = 0,0212-0,81x0,2822= -0,4091.

Используя нормальное распределение, можно выяснить N(d,) и N(d):

N(d,) = 0,5085, Nidi,) = 0,3412.

Теперь можно оценить колл-опцион на акции Cisco с ценой исполнения 15 долл.:

Стоимость опциона (15-колл) в июле= SN(d,) - К е" N(dj) = = 13,62 X (0,5085) - 15 долл. е-°°°(0,ЗШ) = 1,87 долл.

Поскольку опцион колл продается по цене 2 долл., он слегка переоценен, если считать верной использованную нами оценку стандартного отклонения.

Ограниченность и стационарность модели. Модель Блэка-Шоулза предназначена для оценки опционов, которые можно исполнить только по истечении их срока, а по базовому активу дивиденды не выплачиваются. Кроме того, опционы оцениваются, исходя из предположения об отсутствии влияния исполнения опциона на стоимость базового актива. На практике, активы приносят дивиденды, опционы иногда исполняются раньше срока, а исполнение опциона может повлиять на стоимость базового актива. Существуют поправки, хотя они и несовершенные, которые призваны частично исправить недостатки модели Блэка-Шоулза.

Дивиденды. Выплата дивидендов уменьшает цену акции. Заметим: на экс-дивидендную дату цена акций обычно снижается. Следовательно, опционы колл становятся менее ценными, а пут-опционы - более ценными, по мере повышения ожидаемых выплат дивидендов. Есть два способа учета дивидендов в модели Блэка-Шоулза:

Ниже приведены исходные данные для модели Блэка-Шоулза;

Текущая цена акции (S) = 13,62 долл.; Цена исполнения опциона = 15 долл.; Срок жизни опциона = 103/365 = 0,2822;

Стандартное отклонение 1п(коэффициента доходности акции) = 81%; Безрисковая ставка = 4,63%.

Введя эти данные в модель, мы получим: 13,62



ПОДРАЗУМЕВАЕМАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

Единственная входная величина, относительно которой существуют значительные расхождения в оценке, - это дисперсия. Хотя дисперсия зачастую оценивается через анализ исторических ценовых рядов, стоимость опционов, вычисленная на основе прошлых значений дисперсии, может отличаться от рыночных цен. Тем не менее, для любого опциона есть определенное значение дисперсии, при котором полученная при оценке стоимость будет равна рыночной цене. Данная величина дисперсии называется подразумеваемой (вмененной) дисперсией (implied variance).

Рассмотрим опцион на акции Cisco, процедура оценки которого показана в иллюстрации 5.2. При стандартном отклонении, равном 81%, стоимость колл-опциона с ценой исполнения 15 долл. была определена на уровне 1,81 долл. Поскольку рыночная цена выше вычисленной нами стоимости, мы попробуем применить более высокое стандартное отклонение, получив следующие результаты: при стандартном отклонении 85,40% стоимость опциона равна 2 долл. (т. е. рыночной цене). Эта величина и есть подразумеваемое стандартное отклонение, или, по-иному, - «подразумеваемая волатильность» (implied volatility).

1.Краткосрочные опционы. Первый способ учета дивидендов - это оценка приведенной стоимости ожидаемых дивидендов, выплачиваемых по базовому активу в течение срока жизни опциона, а также вычет полученной величины из текущей стоимости актива, что даст оценку величины S для использования в модели.

Модифицированная цена акции = = текущая цена акции -- приведенная стоимость ожидаемых дивидендов на протяжении жизни опциона.

2.Долгосрочные опционы. Чем продолжительнее срок жизни опциона, тем менее практична оценка приведенной стоимости дивидендов, поэтому можно использовать альтернативный подход. Если на протяжении жизни опциона ожидается неизменность дивидендной доходности (у = дивиденды/текущая стоимость актива), то модель Блэка-Шоулза можно модифицировать следующим образом.

где d, - -

( S In К

С = S е-У N(d,) - К е- N(d,), xt

и d, = d, -aVt .

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403] [404] [405] [406] [407] [408] [409] [410] [411] [412] [413] [414] [415] [416] [417] [418] [419] [420] [421] [422] [423] [424] [425] [426] [427] [428] [429] [430] [431] [432] [433] [434] [435] [436] [437] [438] [439] [440] [441] [442]