Приложение 1

О СМЫСЛЕ ВЫРАЖЕНИЯ ПОЛНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИГРЫ

Согласно теореме п. 6.1 из равенства (13.10), справедливого для любой матрицы А, следует, во-первых, что смешанное расширение любой матричной игры имеет значение, т.е. является вполне определенной игрой, а, во-вторых, что игроки в этом смешанном расширении имеют оптимальные стратегии.

Как отмечалось в п. 4.5, значение смешанного расширения игры есть с одной стороны уверенный ожидаемый выигрыш игрока 1 за одну партию такой игры, а с другой - справедливая плата за участие в ней.

Здесь можно бьшо бы воспроизвести рассуждения из п. 6.7 с тем отличием", что теперь вместо достоверного получения тех или иных конкретных сумм речь будет идти об ожидаемых выигрышах. Поэтому полная определенность смешанного расширения матричной игры должно пониматься в том смысле, что в условиях применения игроками оптимальных смешанных стратегий однозначно устанавливается математическое ожидание выигрыша игрока 1, которое и будет равно значению игры. Разумеется, если оптимальные стратегии игроков являются строго смешанными (т.е. не являются чистыми), то фактические (случайные) значения выигрышей игроков в отдельных партиях игры могут оказаться различными.

Приложение 2 ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ НЭША

Существенно проще с технической точки зрения оказывается доказательство теоремы Нэша, если вместо сравнительно элементарной теоремы о неподвижной точке Брауэра воспользоваться более тонкой теоремой Каку-тани.

Теорема Какутани. Пусть X - непустое компактное подмножество R, а отображение ф ставит в соответствие каждому элементу X G X некоторое непустое замкнутое вьшуклое подмножество ф(Х) СХ, причем вьшолняется условие полунепрерывности сверху: если последовательность Xi, Xf, ... точек из X сходится к предельной точке Xq,b. последовательность Fi, Yt, где Yt С ф(Xt) - к точке Го, то Yq С i (Xo). Тогда

отображение ф имеет неподвижную точку в том смысле, что найдется точка X*, для которой *

Терема Нэша доказывается на основании теоремыКакутани следующим образом.

Возьмем в игре Г = < /, {х/ } / g /, WiУ ii > произвольную ситуацию в смешанных стратегиях X = (Xi, Х„) и рассмотрим для каждого / G / множество (Xj) всех тех смешанных стратегий Z*. игрока/, для которых

Hi(X\\X!)>Hi(X \\Х})(9.5)

при любом Xi G Х.

Как легко проверить, множество ф (Х() является замкнутым и вьшуклым подмножеством Xf. Следовательно, декартово произведение

П i f(ZO

является замкнутым и вьшуклым подмножеством в пространстве всех ситуаций в смешанных стратегиях. Обозначим его через Ф(Х). Соответствие X ф(Х) является полунепрерывным сверху, ввиду того, что в обеих частях (9.5) стоят непрерывные функции от X, так что при переходе к пределу неравенство сохраняется.

Таким образом, по теореме Какутани найдется такая ситуация в смешанных стратегиях X*, что X* G ф(Х*). Для этой ситуации X* неравенство (9.5) переписывается как

HiiX*) > HiiX* WXl), XJeXi, т.е.Х* является ситуацией равновесия игры Г н смешанных стратегиях. □

*) Доказательство теоремы Какутани см., например, в кн. Л.В. Канторович, Г.П. Акилов, Функциональный анализ, М.: Наука, 1984, с. 637.

список РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ А. УЧЕБНИКИ

1.Бургер (Burger Е.) Einfuhrung in die Theorie der Spiele. - Berlin: W. de Gruyter, 1959, S. 169 (Англ, пер.: Introduction to the theory of games. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1963,202 р.)

2. Воробьев Н.Н. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков. - Л.: Изд-во ЛГУ 1974. - 160 с. (Англ.пер.: Game Theory. Lectures for economists and system scientists. - New York: Springer, 1977. - 178 p.)

Ъ. Давыдов Э.Г. Методы и модели теории антагонистических игр. - М.: Изд. МГУ, 1978.- 208 с.

4. Джонс (Jones A.J.) Game theory: mathematical models of conflict. Mathematic and its

applications. Chichester: E. Horwood, 1980-309 p. 5.Дрешер (Dresher M.) Games of strategy. Theory and applications. - N.Y.: Prentice-

HaU, Englewood Cliffs, 1961.- 186 p. (Рус. пер.: Стратегические игры. Теория и

приложения. - М.: Советское радио, 1964. - 352 с.) в.Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. - М.: Наука,

1981.- 336 с.

7. Крушевский А.В. Теория игр. - Киев:. Вища школа, 1977. - 215 с.

Ъ.Мак-Кинси (MacKinsey J.C.C.) Introduction to the theory of games, N.Y.: McGraw-Hill, 1952. - 371 p. (Рус. пер.: Введение в теорию игр. М.: Физматгиз, 1960. -420 с. Йсплер.: Introduction а 1а teoria matematica de los juegos. Madrid: Aguilar, 1967.- 377 p.)

9. Мантейфель, Штумпе (Manteuffel К., Stumpe D.) Spieltheorie. - Leipzig: Teubner, 1977.- 60S.

10.Оуэн (Owen G.) Game theory. - Philadelphia e.a.: Saunders, 1968. - 228 p. (Рус. пер.: Теория игр. -М.: 1971. -230 с.)

11.Оуэн (Owen G.) Game theory. Second Edition. Acad. Press, 1982. - 344 p.

12.Cen, Форго (Szep E., Forgo F.) Bevezetes a jatekelmelet be. - Budapest: Kozagzd. kiado, 1974.- 3131.

13.Cen, Форго (Szep E., Forgo F.) Einfuhrung in die Spieltheorie, Budapest, Akademiai Kiado, 1983.- 292 S.

14.Судзуки (Suzuki Mizuo) Theory of games. - Tokyo: Kieso Shobo, 1959, - 242 p. 15.Суздаль В.Г. Теория игр для флота. - М.: Воениздат, 1976. - 318 с.

Б. М0Н01ТАФИИ

16. Ауман, Шепли (Aumann R.J., Shapley L.S.)Values of nonatomic games. - Princeton univ. press, 1974. - 333 p. (Рус. пер.: Значения для неатомических игр. - M.: Мир, 1977. - 357 с.)

11. Базар, Олдсер (Basar Т., Oldser G.J.) Dynamic noncooperative game theory. - London

a.o.: Academic Press, 1982. - 430 pp. 1,Берж (Berge C.) Theorie generale des jtux a n personnes. - Paris: Gauthier-Villars,

1957. - 114 pp. (Fyc. пер.: Общая теория игр нескольких лиц. - М.: Физматгиз,

1961.-с. 126.)

19.Воробьев Н.Н. Ошовы теории игр. Бескоалищюнные игры. - М.: Наука, 1984. -495 с.

20.Данскин (Danskin J.M.) The theory of max-min. - Berlin: Springer, 1967. - 126 S. (Рус. пер.: Теория максимина. - М.: Советское радио, 1970. - 200 с.)