25. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕКТОРА ШЕПЛИ

25.1 Игра с главным игроком. В игре участвуют п игроков, один из которых называется главным. Коалиция К выигрывает 1, если она либо содержит главного игрока и хотя бы одного кроме него, либо же всех n-l "неглавньгх". Если главный игрок имеет номер w, то характеристическая ф)шкция этой игры записывается в следующем виде:

1, если KD{i и), {фп, 1, если /:э { 1,.. W-1}, . О в остальных случаях. Очевидно, во всякой перестановке главный игрок увеличивает вьшгрьпп коалиции на единицу, если только он оказывается в ней не первым или не стоит!на и.м1месте. Вероятность этого события равна (и-2)/«. В противном

v(K) =

1 2Ъ и ... п-1 п к

Рис. 4.34

О 1 гъи ... пЧп к

Рис. 4.35

случае он не увеличивает выигрьппа коалиции. Следовательно, в нашем случае Фрл (i) = («-2)/и. Данная игра имеет 0-1-редуцированную форму.

= 2/«. Но ясно, что все неглавные игроки

Поэтому 2 Ф/(и) = 1 - Фг /=1

равноправны. Поэтому по симметрии Ф/(и) = 2/и(и-1), /=1,...,и-1.

Мы видим, что "монопольное" положение главного игрока обеспечивает ему в (w-l)(«-2)/2 раз больший выигрыш, чем "рядовым" участникам игры. Это обстоятельство подчеркивает вторичный, относительный, экономически обусловленный характер "справедливости".

25.2. "Помещик и батраки". Предположим, что имеются п~\ батраков (игроки 1,..., «-1) и помещик (игрок ri) и что помещик, наняв к батраков, получит от урожая доход f{lC), а батраки в любом числе сами по себе дохода получить не могут. Это положение дел описывается следующей характеристической функцией:

7(11-1), если nGK, О в противном случае.

Нетрудно видеть, что в слзайной равновероятно распределенной перестановке помещик с вероятностью \\п окажется на любом it-м месте и увеличит тем самым значение характеристической функции на f(k-1). Поэтому

п ki

(25.1)

На основании условий эффективности и симметрии всех батраков мы имеем ф(1;) = 1(д„ 1) 1 2 ДА:)) f=l,...,«-l.

Геометрически сумму в (25.1) можно представить себе как площадь, ограниченную графиком функции / (см. рис. 4.34 и 4.35). В условиях слабо механизированного сельского хозяйства график функции / будет напоминать кривую, изображенную на рис. 4.34. По мере роста уровня механизации этот график начинает напоминать кривую на рис. 4.35. Это означает увеличение доли помещика в доходах, что соответствует представлениям о росте нормы эксплуатации с ростом органического состава капитала.

25.3. Однопродуктовый сбалансированный рынок. Рассмотрим рынок, в котором участвует множество продавцов Р, причем каждый продавец kGP располагает количеством Xj некоторого товара, и множество покупателей Q, причем покупатель IGQ предъявляет спрос на этот товар в объеме з/. Сбалансированность рынка выражается в равенстве суммарного предложения суммарному спросу: 2 = 2 у., Очевид-

кР IGQ

но, каждую из этих сумм можно, не нарушая общности, приравнять единице.

Такой рынок можно описать кооперативной игрой с множеством игроков I=PUQ (как обычно, мы полагаем /=«) и характеристической функцией

v(K) = mm{ Хк. 2 уЛ.(25.2)

Персональность и супераддитивность функции v проверяются непосредственно. Свойством дополнительности она, очевидно, не обладает, так как, например, v(P) = v(Q) = О, а v(P UQ) = и(Г) > 0.

Значением этой характеристической функции является, очевидно, объем сделок, которые могут быть заключены между членами-продавцами и членами-покупателями коалиции К,

Найдем векторШепли для этой кооперативной игры.

Рассмотрим произвольную перестановку игроков тт и поставим ей в соответствие "противоположную" перестановку тг*, т.е. такую перестановку, в которой переставляемые игроки расположены в обратном порядке. Возьмем теперь произвольного продавца к и обозначим через К(к) множество всех участников рьшка, предшествующих ему в перестановке тт. Обозначим разность

2У1> -XХ„

lGK{k)nQkGKj,(k)nP

через d(k, тг). Из определения характеристической функции (25.2) мы имеем

[ О, если d(k, тг)<0, v(K(k) и к)- v(K(k)) = d(k, тг), если 0d(k, тг)х,

[xf, если xj,d(k, тг).

Как легко убедиться, d(k, тг) + d(k, n*) = Xjc. Поэтому

v(K(k) и к)- v(K(k)) + v(K*ik) и к)- v(K*(k)) = Xj,.

Значит, если мы объединим в сумме (22.4) в данном случае слагаемые в пары, сочетая каждую перестановку с противоположной ей, то всего мы получим nil2 пар, и сумма слагаемых в каждой паре будет равна Xj. Сле-

довательно, для каждого продавца kGP

1 п\1

п\ 12

и аналогично для любого покупателя IGQ

Таким образом, для сбалансированного однопродуктового рынка доля каждого участника рынка в распределении прироста полезности от совершаемого обмена зависит только от его капитала (взятого в денежной или натуральной форме) и не зависит от распределения капиталов между отдельными участниками рьшка. Это значит, что цена на сбалансированном однопродуктовом рынке формируется вне рьшка, т.е. в сфере производства, что и соответствует трудовой теории стоимости и закону стоимости.