назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90]


86

Находящаяся здесь в скобках сумма зависит оГкоалиции Киот игрока /. Обозначим ее поэтому через уК). Очевидно, если / G К. то

у.(К\г)= X L( i)l/I-lA/l

RD(K\i)Ui \R\ RCI

RDK \R\ RCI

(заметим что здесь К =KUi),

Объединим теперь каждую коалицию К CI, содержащую игрока /, в пару с коалицией K\l Мы получим

Ф,(1;) = 2 (yi(K)v(K)yiiK\i)v(K\i)= 2 yr(K)(v(K)-v{K\i)y

KCIiEKCI

Далее, для всех таких К

у.{К)= Б 1 (-!)«1-11 = Ё 1 Z (-irl.

RDK\R\г=\К\ г \R\=r

RCIKCRCI

Последняя сумма, очевидно, стостоит изодинаковых слагаемых.

Следовательно,

г\К\ п \К\

= /2 х-Ч-!/"c;-/jx-idx =

= f (l-xf-x-x. •

Последний интеграл известен в математике под именем эйлерова интеграла первого рода, или бэта-функции и обозначается через В (Г, «) .Известно, что

{n-t)\ (Г-1)!

В(Г,«) = - ,•(23.1)

Для полноты изложения выведем эту формулу. Заметим с этой целью, что

В(1, =х)"- dx = (1 -

(23.2)

Далее возьмем интеграл В(г, п) по частям, для чего положим (1 -х)" = и, х dx = - dv. Очевидно, здесь



Значит, при t > О 1

B(t, «)=/(! -xf--V~dx= (1 - xf- 1-х О

=В(Г+1,«),

+ - / (l-xf--xdx-

откуда

применяя эту формулу к (23.2) , мы последовательно получаем В(2,«) =-

п п-\ В(3,«) = -

« п-\ «-2 2

t- («-t)!(r-l)!

С учетом (23.1) окончательно оказывается

7/(А) = («-У)!(У-1)!,

откуда

{п - \К\)\ {\К\ - 1)! {р{К) - v(K\iy).

(23.3)

§ 24. ВЕКТОР ШЕПЛИ ДЛЯ ИГР ТРЕХ ЛИЦ

24.1.В отдельных случаях формула (21.4) для компонент вектора Шепли допускает более "замкнутое" их описание. Помимо простейших игр (см. п. 21.1), это удается сделать, например, для игр трех лиц.

Ввиду сказанного в п. 20.4 мы можем ограничиться сушественными играми, а ввиду сказанного в п. 21.8 - играми в 0-1-редуцированной форме.

24.2.Теорема. Если v - характеристическая функция трех лиц в 0-1-редуцированной форме с v(i, /) = Сд, то

Ф,(1;) = (2-2Q +су+ сО.

(24.1)

Доказательство. Воспользуемся теоремой п. 22.3. С этой целью выпишем все перестановки игроков в игре трех лиц и подсчитаем разность A(i;, /, я) при / = 1 для каждой из них:

1 3

1-е,

1 2

1-е,



Каждую из этах разностей следует умножить на вероятность 1/6 соответствующей перестановки и полученные произведения сложить. В итоге мы получим

i() = -~(2-2с1+С2+Сз),

а надлежащее переименование игроков дает формулу (24.1). □

24.3. Например, для игры рьшка с одним продавцом и двумя покупателями (пример 3 из п. 2.2) в О-1-редуцированной форме (см. п. 8.3)

,, 11 Ъ-а

Мы видим, что монопольное положение продавца делает для него "справедливым" получение более чем половины от общего прироста полезности. Кроме того, как нетрудно подсчитать, из Ь с следует Фп W = (*)-Это значит, что справедливо, чтобы доля фактически вступающего в сделку, более конкурентоспособного покупателя бьша бы больше, чем у его конкурента.

24.4. Игры, в которьЕХ вектор Шепли принадлежит с-ядру, представляют естественный содержательный интерес: именно в таких играх существует дележ, который является одновременно справедливым и устойчивым (его выгодность вытекает из свойства коллективной рациональности, которым обладают все дележи).

Можно сформулировать условия того, чтобы для характеристической функции v бьшо Ф(v) G С(и). Для игр трехлиц этот вопрос решается достаточно просто.

Теорема. Для того чтобы в игре трех лиц с характеристической функцией v(i, f) = ci вектор Шепли Ф(и) принадлежал с-ядру C(v), необходимо и достаточно соблюдение неравенств

4Ci + С/ + Са: < 4 для любых и /, к(24.2)

Доказательство. Согласно теореме п. 13.2 условиями принадлежности с-ядру дележа х в игре трех лиц v будут неравенства + cj. Для случая x = Ф(1;) это переписывается как Ф/(и) + ФДи)С;э и формула (24.1) дает нам

i(4-C,.-C/ + 2C;t)fc,

откуда немедленно следует (24.2). □

Наглядное изображение множества всех игр трех лиц, в которьгх вектор Шепли принадлежит с-ядру, получается, если на рис. 4.1 построить пересечение куба всех игр с тремя полупространствами (24.2).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90]