назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [ 84 ] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


84

Желательно, далее, чтобы способ получения этих формул был достаточно естественным. Идеалом в этом смысле представляется дедуктивный вывод их из перечисленных аксиом. Такой вывод будет проведен в § 23. При всей своей естественности он оказывается довольно сложным.

Вместе с тем те же формулы можно получить и из других, внеаксиомати-ческих, как бы эвристических соображений. Это будет сделано в § 22. Такой вывод представляется несравненно более простым и наглядным, чем опирающийся на аксиомы. Однако положенные в его основ у посылки могут показаться искусственными и неубедительными. Впрочем, такое основанное на эвристических отображениях описание вектора Шепли может в свою очередь также пониматься как некоторое его аксиоматическое задание, пожалуй, только посредством менее убедительных аксиом. Тот факт, что на обоих путях получаются для вектора Шепли одинаковые выражения, свидетельствует об эквивалентности полагаемых в их основы явных или неявных аксиоматик.

§ 21. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВЕКТОРА ШЕПЛИ 21.1. Найдем сначала вектор Шепли для характеристической функции вида cvr , где vr - простейшая характеристическая функция (см. п. 4.2), ас>0.

Теорема. Для вектора Шепли Ф(сик) характеристической функции cvr {где с > 0) должно быть

если /е/?,

\R I

О,если /G/*)

(21.1)

Доказательство. Множество R является для cvr носителем. Поэтому по аксиоме эффективности

Z Ф/(С1;) -cvr{R)-c,(21.2)

Далее, перестановка (транспозиция) любых двух игроков из/? является автоморфизмом cvr. Поэтому по аксиоме симметрии слева в (21.3) все слагаемые равны друг другу, и мы получаем верхнюю строку (21.1). Наконец, все игроки, не входящие в R, являются в cvr болванами, и применение в этом случае формулы (20.3) дает нам нижнюю строку (21.1). □

21.2. Следствие. Дая простейшей характеристической функции vruc>0 Ф{си) =сФ(ик),

Доказательство. Следует непосредственно из (21.1). □

213. Из аксиомы агрегации и последнего следствия вытекает, что при любых Cr>0 должно быть

Ф(2: crVr)=X Ф{сяик)=Х СкФ{ик),(21.3)

*) Подчеркнем, что согласно аксиоме агрегации мы можем определять вектор Шепли для тех или иных характеристических функций лишь вместе с векторами Шепли для их сумм. Поэтому формулировка данной теоремы носит условный (а говоря формально , чисто необходимый) характер: она указьшается лишь на то, каким должен быть вектор Шепли простейшей характеристической функции, если она таковым обладает. 252



Распространим эту формулу на случай коэффициентов cr с произвольными знаками.

Лемма. Если v и v" - характеристические функции, а их разность v -V " также является характеристической функцией, то

Ф(и - и") = Ф(и ) - ФСи").(21.4)

Доказательство. По условию мы имеем тождественно v = и" + + (х) -v"). Справа здесь стоит сумма двух характеристических функций, и по аксиоме агрегации мы имеем

откуда и следует (21.4). □

21.4. С л е д с т в и е. Формула (21.3) остается справедливой, если знаки коэффициентов cr произвольные, а сумма 2 cr Vr является характеристической функцией,

Доказательство. Имеем

Vi: CrVr 2 CrVr- 2 {-Cr)Vr, RRR

CROCR<0

Здесь BO второй сумме все числа - Cr являются положительными, так что вычитаемая сумма оказывается характеристической функцией. Поэтому по лемме п. 21.2

Ф(1;) = Ф( S CRVR)-Ф( 2 (-Cr)vr) =

CROCR<0

= 2 CRФ(VR)-X {-CR)Ф(Vr) = X CRФ(V), □

CROCR<0

215* Теорема. Каждая характеристическая функция имеет не более одного вектора Шепли,

Доказательство. То, что каждая простейшая характеристическая функция имеет не более одного вектора Шепли, следует из теоремы п. 21.1. Но, как бьшо показано в п. 4.4, произвольная характеристическая функция представима в виде линейной комбинации простейших единственным способом. Поэтому и на основании сказанного в пп. 21.3, 21.4 каждая характеристическая функция имеет не более одного вектора Шепли. □

21.6. Нам остается доказать существование вектора Шепли для любой характеристической функции. В соответствии со сказанным в п. 20.7 мы опишем сначала вектор Шепли "немотивированным" образом.

Теорема. Для любой характеристической функции v над / ={1,... ...,«} компоненты вектора Шепли определяются по формуле

Ф,(и)= S -(v(K)-v(K\i)),(21.5)

Доказате-льство. Проверим сначала, что вектор Ф(и) с компонентами из (21.5) является дележом.



Сначала установим индивидуальную рациональность Ф(и). Ввиду супераддитивности характеристической функции мы имеем

v(K)-v(K\i) > v(i),

так что

Фi(v) Z \(n-\K\)\(K\-])lv(i) =

= v(i) S(п-А)!(А-1)!

Объединение слагаемых, соответствующих коалициям К с одинаковым числом игроков, дает нам

Фi{v)v(i) 2 2 - (п-к)\(к-\)\,

к=1 \К\=к п\

а так как внутренняя сумма состоит из Ci-l одинаковых слагаемых, -

{п-\)\]

к\ (к - 1)! (п - к)\ п\

« 1

= i;(0 2 - =i;(0.(21.6)

k=l П

Для доказательства коллективной рациональности Ф(и) напишем

{п-\К\)\{\К\-\)\ 2 ФД1;)= 2 2 ---(v(K)-v(K\i)). (21.7)

Во всей двойной сумме выражение v (К) встретится в роли уменьшаемого I КI раз (по числу входящих в К элементов) и тем самым приобретает коэффициент

(п-\К\)\(\К\-1)\(п-\К\)\К\\

п\п\

который при \ К\ =п, т.е. при К = 1, очевидно, равен единице. В роли же вычитаемого оно встретится п - \К\ раз (по числу не входящих в К элементов) и тем самым приобретает коэффициент

{п- \К\- 1)! \К\\ (п - \К\)1 \К I !

-(п-\К\) --- = ---, еслипФ\К\ ,

п\п\

и коэффициент. О, если п= \ К \ .

Таким образом, правая часть (21.7) равна v (/) :

2 Фi(v) = v{Il(21.8)

и вектор Ф(1;) оказывается коллективно рациональным.

Следовательно, вектор, описываемый (21.5), действительно является дележом. Обратимся к проверке для него аксиом вектора Шепли.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [ 84 ] [85] [86] [87] [88] [89] [90]