назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


82

Рис. 4.22Рис. 4.23

ках, заштрихованных на рис. 4.23. Следовательно, чтобы множество деле-жей{А, В, С) составляло Н-М-решение, необходимо, чтобы от этих заштрихованных треугольников остались только их вершины, т.е. чтобы точки А,В и С оказались на соответствующих сторонах треугольника всех дележей. Но это возможно, лишь если точки А,В и С находятся в серединах соответствующих сторон основного треугольника.

До сих пор рассуждения этого пункта носили необходимый характер: мы установили, что если существует Н-М-решение в существенной игре трех лиц, дележи которого не лежат на одной прямой, то оно может состоять лишь из трех точек, именно, из трех середин сторон (рис. 4.24). Нам остается проверить, что множество{Л, i?. С}, которое по доказанному только и может быть Н-М-решением, действительно оказывается таковым.

Внутренняя устойчивость этого множества все время была одним из условий его построения. Проверим его внешнюю устойчивость. Дележ А доминирует дележи из параллелограмма 1С А В,, за исключением внутренних точек отрезков В А и АС. Подчеркнем, что, в частности, он доминирует все внутренние точки отрезка ВС. Далее, дележ В домюшрует параллелограмм 2АВС (кроме внутренних точек отрезков ВС к В А), а дележ С - параллелограмм САЗВ (кроме внутренних точек ВС и АС). Но внутренние точки ВС до минируются дележом А, внутренние точки АС - дележом В, а внутренние точки В А - дележом С. Таким образом, все дележи, за исключением самих дележей А,В и С, доминируются этими тремя дележами. Тем самым множествоЫ, Б, С}, оказывается внешне устойчивым и поэтому - Н-М-решением.

Найденное решение состоит из дележей

Л ={0, 1/2, 1/2), ={1/2,0,1/2}, С= {1/2, 1/2,0}.

Оно называется симметричным.

11 Я. Нетрудно убедиться в том, что симметричное решение переводится само в себя любым автоморфизмом игры оправдьюая этим свое название.

§ 18. Н~М-геШЕНИЯ в ОБЩИХ ИГРАХ ТРЕХ ЛИЦ

18.1.Рассмотрим сначала случай, когда с-ядро игры пусто. Геометрически это означает, что точки попарных пересечений прямых 5i = 1 - ci, 2 = = 1-2,5з = 1- Сз составляют треугольник,расположенный как показано на рис. 4.25.

18.2.Из сказанного в п. 12.5 ясно, что дележи, лежащие внутри треугольника ABC, не могут доминироваться какими-либо дележа.ми, лежащими



вне его. Следовательно, всякое подмножество треугольника ЛВС, внутренне и внешне устойчивое по отношению к доминированиям в пределах этого малого треугольника (будем для удобства называть его "Н-М-решением в малом"), является, таковым по отношению к доминированиям в пределах большого треугольни- & ка, и наоборот. Таким образом, если в il-?1 рассматриваемой нами игре имеется некоторое Н-М-решение, то его пересечение с треугольником ЛВС должно быть Н-М-решением в малом. Но эти последние бы-Рис. 4.25 ли описаны нами в предыдущем параграфе.

Для того чтобы из Н-М-решения в малом получить Н-М решение всей игры, необходимо добавить некоторые дележи, расположенные вне треугольника ЛВС. Рассмотрим отдельно случаи, когда решение в малом является дискриминирующим или симметричным.

18.3. Пусть Н-М-решение в малом - дискриминирующее (рис. 4.26). Множество всех недоминируемых множеств А В дележей на рисунке заштриховано. Ограничимся рассмотрением необходимой добавки к АВ для того, чтобы доминировались все дележи из треугольника KLM, Добавки для остальных треугольников описьшаются аналогичным образом. Ясно, что эта добавка должна сама находиться в треугольнике KLM. Уравнения наклонных сторон этого треугольника имеют вид = а и52 Возьмем в треугольнике KLM некоторую точку х с данными координатами и 2 (рис. 4.27). Доминируемые ею дележи из этого треугольника составляют два параллелограмма (очерчены пунктиром). Следовательно, если два дележа принадлежат одной добавке до Н-М-решения, то соединяющий их отрезок должен составлять с вертикалью угол не более чем в 30*. В частности, каждая горизонталь может пересекать эту добавку не более чем в одной точке. Значит, вся эта добавка должна лежать на криволинейном отрезке, соединяющем точку L с основанием треугольника дележей и не отклоняющемся от вертикали более чем на 30°. Предположим, что одна из точек криволинейного отрезка не принадлежит добавке. По своему положению она не может доминироваться другими дележами добавки. Никакими дележами вне добавки она, очевидно, также доминироваться не может. Поэтому при сделанном предположении добавка оказывается недостаточной для получения Н-М-решения. Следовательно, каждая точка криволинейного отрезка должна на этой добавке принадлежать.

Аналогичные криволинейные отрезки составляют добавки до Н-Ме-шения в остальных двух треугольниках, и все Н-М-решение приобретает вид, изображенный на рис. 4.28. Ясно, что добавляемые к Н-М-решению в малом криволинейные отрезки должны выходить из соответствующих точек, не отклоняться по своему направлению от перпендикуляра к соответствующей стороне треугольника дележей более чем на 30° и доходить до самой этой стороны. В остальном они могут быть совершенно произвольными.



18.4.Пусть теперь Н-М-решение в малом симметрично. В этом, как ив предыдущем случае, мы можем дополнить его криволинейными отрезками, как это показано на рис. 4.29. Эти криволинейные отрезки должны удовлетворять тем же условиям, что и указанные в предьщущем пункте, а в остальном могут быть произвольными.

Между прочим, из сравнения дискриминирующего и симметричного решений в случае общих игр трех лиц становится вполне ясным, что второе можно рассматривать как предельное положение первого.

18.5.Обратимся, наконец, к случаю, когда игра имеет непустое с-ядро. Совокупность дележей, составляющих ядро, доминирует все дележи, за исключением множества, заштрихованного на рис. 4.30. Для того чтобы дополнить с-ядро до Н-М-решения, к нему необходимо, как и выше, добавить в каждом из треугольников недоминируемых дележей по соответствующему криволинейному отрезку (рис. 4.31) .

Ясно, что если с-ядро становится четырех-, пяти- или шестиугольником, то вместе с исчезновением недоминируемых треугольников отпадает и надобность в соответствующих криволинейных отрезках (рис. 4.32). В частности, если с-ядро доходит до каждой из сторон треугольника дележей

Рис. 4.26

Рис. 4.27

Рис. 4.28

Рис. 4.29

Рис. 4.30

Рис. 4.31

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]