назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [ 81 ] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


81

16.5.Аналог теоремы п. 13.4 для Н-М-решений неверен: для Н-М-ре-шения (R игры и и ее автоморфизма тт не обязательно должно быть п6{ = (R, и в (R может не найтись такого дележа х*, что ттх* = х* при любом автоморфизме я. Соответствующие примеры непосредственно усматриваются из анализа игр трех лиц в § 17.

Понятие Н-М-решения обладает свойством симметрии в весьма ослабленном смысле.

Теорема. Если (R есть Н-М-решение v, а тт - изоморфизм v, то также есть Н~М-решение пи.

Доказательство следует из того, что соотношение доминирования сохраняется при изоморфизмах. □

16.6.Понятие Н-М-решения при всей его естественности обладает также некоторыми недостатками. Отметим следующие из них.

Во-первых, известны примеры кооперативных игр, которые не имеют Н-М-решений. Более того, в настоящее время не известно каких-либо критериев, позволяющих судить о наличии у кооперативных игр Н-М-решений. Тем самым заложенный в Н-М-решении принцип оптимальности не является универсально реализуемым, и область его реализуемости пока остается неопределенной.

Во-вторых, кооперативные игры, если имеют Н-М-решения, то, как правило более одного. Поэтому принцип оптимальности, приводящий к Н-М-решению, не является полным: он, вообще говоря, не в состоянии указать игрокам единственной системы норм распределения выигрыша.

В-третьих, как мы видели, решения существенных кооперативных игр состоят более чем из одного дележа. Таким образом, даже выбор какого-либо конкретного Н-М-решения еще не определяет выигрыша каждого из игроков.

Наконец, в-четвертых, понятие Н-М-решения отражает, как это видно из п. 16.5, лишь в весьма малой мере черты справедливости.

Перечисленные недостатки следует понимать не как пороки, которые следовало бы исправлять, а именно как недостатки, которые хотелось бы восполнить. К сожалению, такое восполнение рассматриваемого принципа оптимальности едва ли возможно, разве лишь за счет резкого сокрашения области его реализуемости. Впрочем, это отражает положение дел в действительности: большинство экономических и социальных проблем допускает множественные решения, и эти решения не всегда поддаются непосредственному сравнению по их предпочтительности.

§ 17. Н-М-РЕШЕНИЯ В ИГРАХ ТРЕХ ЛИЦ С ПОСТОЯННОЙ СУММОЙ

17.1. Вопрос об Н-М-решениях в несущественных играх, а также в произвольных играх двух лиц решается точно так же, как и вопрос о с-ядре в этих играх (см. п. 13.4). Именно, поскольку среди дележей в играх двух лиц никаких доминирований быть не может (см. п. 11.4), а в каждой из несущественных игр вообще имеется всего лишь один дележ (см. п. 9.5), Н-М-решениями в таких играх оказываются множества всех дележей.

В соответствии с этим анализ Н-М-решений кооперативных игр следует начинать с рассмотрения существенных игр трех лиц. На основании

16*243



сказанного в п. 11.7 мы можем ограничиться играми в О-1-редуцированной форме.

17.2. Множеством всех дележей в существенной игре трехлиц в О-1-редуцированной форме является треугольник. Внутренняя устойчивость Н-М-решения означает, что никакие принадлежащие ему два дележа не доминируют друг друга. Поэтому любые два дележа, принадлежащие одаому решению, должны лежать на прямой, параллельной одной из сторон треугольника всех дележей (см. п. 12.4). Следовательно, все отрезки, соединяющие попарно дележи из И-М-решения, должны быть параллельны трем направлениям (сторонам треугольника дележей).

Рассмотрим отдельно два случая:

О все принадлежащие Н-М-решению дележи лежат на одной прямой;

2) не все дележи Н-М-решения лежат на одной прямой.

17.3. Пусть Н-М-решение (R целиком лежит на одной прямой. Пусть для определенности эта прямая А В параллельна стороне 12 треугольника всех дележей (рис. 4.19). Никакие два дележа из (R не доминируют друг друга, так что внутренняя устойчивость (R вьшолняется автоматически. Займемся внешней устойчивостью этого множества.

Ни один дележ отрезка АВ не доминируется каким-либо из остальных дележей этого отрезка. Поэтому внешняя устойчивость (R требует, чтобы в (R входил весь отрезок АВ.

Далее, дележ х (см. рис. 4.19) доминирует по коалиции {1,2} дележи, составляющие параллелограмм xF3E, а совокупность всех дележей отрезка - объединение всех таких параллелограммов, т.е. треугольник А ВЗ (разумеется, без его стороны АВ). Обратимся теперь к доминированию дележей, расположенных ниже отрезка АВ. Дележ х доминирует по коалиции {1,3 } параллелограмм xDlB, а все дележи АВ - объединение таких параллелограммов, т.е. параллелограмм ВА Ш. Аналогично по коалиции { 2, 3 } дележи АВ доминируют параллелограмм AG2B. Очевидно, чтобы дележи АВ доминировали все дележи из трапеции А \ 2В, необходимо, чтобы точка пересечения прямых AG п ВН находилась строго ниже основания треугольника дележей 12. Выберем это последнее условие алгебраически.



Уравнением прямой АВ будет з=-з. Следовательно, точки А и В имеют соответственно барицентрические координаты (1 -X3,0,Xs) и (О, 1 ~Х2,Хз), Поэтому уравнения прямых АСиВН будут = 1 -х и?2 = = 1 - Хз. Условие, чтобы точка пересечения этих прямых лежала вне треугольника 12 3, состоит в том, что Ь + Ь Ь т.е. Хз < 1/2. Это значит, что для того, чтобы множество (R было внешне устойчивым и, тем самым, Н-М-решением, необходимо и достаточно, чтобы этот отрезок лежал ниже средней линии треугольника. Каждый такой отрезок представляет собой Н-М-решение рассматриваемой игры.

17.4.Содержательно описанные Н-М-решения состоят в представлении игроку 3 некоторой доли айв последующем произвольном распределении оставшейся части 1 - о; между игроками 1 и 2. Мы видим, что во всех дележах этого решения сумма, получаемая игроком 3, одна и та же. Такие решения в теории кооперативных игр принято тзъгвгтъ дискриминирующими, а игроков, получающих во всех дележах решения один и тот же вьшгрыш, - дискриминированными.

17.5.Совершенно так же можно построить серии Н-М-решений игры, в которых дискриминированными будут соответственно игроки 1 или 2.

Ясно, что при автоморфизме тг Н-М-решение (R, дискриминирующее игрока /, переводится в Н-М-решение 7r(R, дискриминирующее игрока тг/.

17.6.Рассмотрим теперь случай, когда не все дележи Н-М-решения лежат на одной прямой.

Пусть х, и Z - три таких дележа. Посмотрим, к чему приведет попытка "пристроить" к имеющимся трем дележам четвертый дележ и, не доминируемый ни одним из этих трех и не доминирующий ни одного из них.

Соединим W с X. Отрезок их должен быть параллельным одной из сторон ху, yz или XZ треугольника xyz (или совпадать с ней). Если хи совпадает по направлению с ху (рис. 4.20), то дележ и находится на прямой ху, отличаясь как от X, так и от В этом случае отрезок zu не будет параллелен ни ZX, ни zy, 2L этого не может быть. Аналогично отвергается случай, когда отрезок хи идет вдоль стороны xz.

Пусть теперь отрезок хи параллелен yz (рис. 4.21). В этом случае прямая, соединяющая z с t, вынуждена быть параллельной ху, так что четырехугольник xyz и оказывается параллелограммом. Его диагональ, соединяющая у с и, не параллельна ни одной из его сторон, а также другбй его диагонали, давая нам тем самым недопустимое четвертое направление.

Таким образом, если не все дележи Н-М-решения лежат на одной прямой, то это решение должно состоять ровно из трех дележей, являющихся вершинами некоторого треугольника. Его стороны должны быть параллельными сторонам треугольника всех дележей. Значит, малый треугольник должен быть либо подобно расположен в большом (рис. 4.22), либо "антиподобно" (рис. 4.23).

17.7.Рассмотрим сначала случай "подобного" расположения. Нетрудно проверить, что здесь ни одна из точек внутреннего треугольника не доминируется какой-либо из его вершин. Поэтому тройка вершин этого треугольника не может составлять Н-М-решения.

В случае "антиподобного" расположения, как легко убедиться, недоминируемыми оказываются дележи, расположенные в замкнутых треугольни-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [ 81 ] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]