назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [ 80 ] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]


80

в зависимости от различных случаев (а всего их может быть восемь) с-ядро будет приобретать тот или иной вид. Например, если не выполняется ни одно из трех неравенств (14.6) и (14.7), то с-ядро оказывается шестиугольником (рис. 4.15).

14.3. Для О - 1-редуцированной формы игры из примера 3 п. 2.2 уравнения (14.3) приобретают вид

3 =0»

так что С (и) есть сегмент, изображенный на рис. 4.16.

§ 15*. С-ЯДРО В ИГРАХ ЧЕТЫРЕХ ЛИЦ

15.1.Ввиду разнообразия возможностей доминирования дележей в играх четырех лиц (см. пп. 12.5-12.7) перечисление всех вариантов формы расположения с-ядра представляется для таких игр достаточно громоздким. Однако наглядное геометрическое представление о с-ядре, построение его для каждой конкретной игры и, тем более, суждение о принадлежности с-ядру того или иного дележа выглядят достаточно просто. Как обычно, мы далее будем считать, что v есть игра в О - 1-редуцированной форме.

15.2.Согласно теореме п. 13.2 принадлежность дележах с-ядру игры с характеристической функцией v состоит в выполнении системы неравенств (13.1). В обозначениях (12.2) и (12.3) для игр четырех лиц эта система может быть записана в виде следующих десяти неравенств :

Xi-Xj.С;,(15.1)

х, + х. dj(15.2)

при любых различных /, f, к и I из числа 1, 2, 3 и 4.К этим неравенствам следует присоединить еще четыре неравенства индивидуальной рациональности

10.(15.3)

а также помнить о равенстве коллективной рациональности

х,.+ху -Xj = 1.(15.4)

15.3.Неравенства (15.3) вместе с равенством (15.4) определяют симплекс всех дележей. Каждое из четырех неравенств (15.1) определяет в симплексе всех дележей, как описывалось в п. 12.7*, усеченную пирамиду, а вся система (15.1) - пересечение четырех таких усеченных пирамид. Это пересечение, если оно непусто, является тетраэдром, грани которого



параллельны граням основного симплекса дележей и который расположен по отношению к симплексу дележей "антиподобно" (см. рис. 4.17).

15.4.Неравенства (15.2) можно сгруппировать попарно:

XXdj,,Xj,Xf>dij.

Ввиду (15.4) мы можем второе из этих неравенства заменить на

Xfx< l-d.-,(15.5)

так что пересечение полупространств, описываемых (15.2) и (15.5), если непусто (т.е. если dfj -di 1), то составляет некоторый плоский слой. Если все эти три слоя непусты, то их пересечение образует параллелепипед (см. рис. 4.18).

15.5.Таким образом, с-ядро игры с характеристической функцией v есть пересечение трех тел: тетраэдра всех дележей, тетраэдра, определяемого пересечением полупространств (15.1), и параллелепипеда, определяемого пересечением полупространств (15.2). Для любой игры четырех лиц можно естественным графоаналитическим методом определить, является ли ее с-ядро пустым, и если оно непусто, то описать его путем задания всех его вершин.

§ 16. РЕШЕНИЯ ПО НЕЙМАНУ - МОРГЕНШТЕРНУ

16.1. Рассмотренное в предыдущих параграфах с-ядро состоит из дележей, каждый из которых устойчив, но в несколько негативном, пассивном смысле: обстоятельства дела не дают коалициям оснований отклоняться от дележа, входящего в ядро. Однако свойства этих дележей сами по себе еще не дают никаких оснований предлагать эти дележи или противопоставлять их другим, уже предложенным.

Более того, если некоторый дележ принадлежит внутренности ядра, то он не может даже быть предпочтительнее какого-либо другого дележа, не может доминировать его. В самом деле, пусть л: принадлежит внутренности C(v) и х>у. Тогда по сказанному в п. 11.3 будет л: > + (1 - Xj;) и при любых сколь угодно близких к единице значениях X. Но такие дележи должны принадлежать C(v) и потому доминироваться не могут.

Разумеется, идеальным было бы указание такого дележа, который не только не доминировался бы какими-либо другими дележами, но сам доминировал бы любой другой дележ. К сожалению, ни в одной существенной кооперативной игре такого дележа не может быть. Не удается найти и дележей, обладающих в разумной степени ослабленными свойствами такого рода. Поэтому решение данной проблемы следует искать на пути расширения класса тех объектов, которые подлежат сравнению в кооперативных играх --на пути некоторого расширения класса дележей. Этот путь, как мы видели, уже оправдал себя в бескоалиционных играх: введение смешанных стратегий позволило решить проблему существования ситуаций равновесия для произвольных конечных (а в действительности также и для многих бесконечных!) бескоалиционных игр. В кооперативном случае мы будем искать решения не в виде единственных дележей, а в виде множеств дележей.

Дж- фон Нейман и О. Моргенштерн предложили потребовать от множества дележей, которое принимается в качестве решения кооперативной игры, 16.Н.Н. Воробьев241



следующие два свойства: внутреннюю устойчивость, состоящую в том, чтобы дележи из решения нельзя было противопоставлять друг другу, и внешнюю устойчивость, состоящую в возможности каждому отклонению от решения противопоставлять некоторый дележ, принадлежащий решению. Формаш1зация этих двух требований приводит к следующему определению.

16.2.Определ ение. Решением по Нейману - Моргенштерну (короче, Н-М-решением) кооперативной игры называется множество (R дележей в ней, обладающее следующими свойствами:

1)внутренняя устойчивость: никакие два дележа из (R не доминируют друг друга;

2)внешняя устойчивость: каков бы ни бьш дележ s, не принадлежащий (R, найдется дележ г, принадлежащий (R, который доминирует 5.

Содержательно представление о Н-М-решении кооперативной игры можно интерпретировать как представление о такой системе норм поведения, что последствия двух допустимых этими нормами поведений не могут быть противопоставлены какой-либо общественной силой (коалицией) друг другу, а каково бы ни было отклонение от допустимых поведений, в обществе (т.е. в множестве всех игроков /) найдутся такие силы (т.е. некоторая коалиция), которые будут стремиться к восстановлению нормы.

16.3.Между с-ядром кооперативной игры и ее Н-М-решением имеется простая связь, выражаемая следующей теоремой.

Теорема. Если в кооперативной игре v существуют с-ядро и Н-М-решение R,to C(v) С (R.

Доказательство. Если дележ х принадлежит C(v), то он не может доминироваться каким-либо другим дележом. Если же он не принадлежит решению, то он должен доминироваться некоторым дележом из решения. Следовательно, принадлежащий с-ядру дележ х должен принадлежать и каждому Н-М-решению. □

16.4.Н-М-решение существенной кооперативной игры не может состоять только из одного дележа.

Теорема. Если некоторое Н-М-решение кооперативной игры v состоит из единственного дележа х, то характеристическая функция v является несущественной.

Доказательство. Предположим, что характеристическая функция i; существеая. Согласно пп. 7.2 и 11.7 мы можем предполагать, что она имеет О-1-редуцированную форму. Пусть л:. - некоторая положительная компонента дележа х. Для существенной характеристической функции / =п > 1, и мы можем составить дележ= (ji,... ,Уп) положив

X +-- если J Ф1,

п-\

О,если / = 1.

По определению доминирования дележ х не может доминировать ; следовательно, у, отличаясь от х, должен входить вместе с х в любое И-М-решение игры. □

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [ 80 ] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]